Resolver $\ln\left(\frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle x-1}\right) > 0$

Question

Estoy tratando de resolver esta inecuación: $\ln\left(\frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle x-1}\right) > 0$ . El problema es, $2$ diferentes formas que me parecen válidas, me dan respuestas diferentes.

Primera opción: girar $0$ a $\ln(1)$ , por lo que tenemos $\ln\left(\frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle x-1}\right) > \ln(1) \Rightarrow \frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle x-1} > 1 \Rightarrow$ multiplicar ambos lados por $(x-1)^2$ me da $x > 1$ o $x < -1$ .

Segunda opción: $\ln\left(\frac{\displaystyle 2x}{\displaystyle x-1}\right)$ es en realidad $\ln(2x) - \ln(x-1)$ Así que $\ln(2x) - \ln(x-1) > 0 \Rightarrow \ln(2x) > \ln(x-1) \Rightarrow 2x > x-1 \Rightarrow x > -1$ .

Supongo que la segunda opción es la inválida, pero ¿por qué?

Gracias.

Answer 1

El primer método es correcto y el segundo es erróneo.

En primer lugar hay que tener en cuenta que requerimos

$$\frac{2x}{x-1}>0 \iff x<0 \quad \land \quad x>1$$

entonces obtenemos

$$\log\left(\frac{2x}{x-1}\right)>\log 1\iff \frac{2x}{x-1}>1 \iff \frac{2x}{x-1}-1>0\iff \frac{x+1}{x-1}>0$$

es decir

$$x\in(-\infty, -1)\cup(1,\infty)$$

que es la solución.

El segundo método conduce a una desigualdad que no es equivalente ya que

$$\log(2x)-\log(x-1)>0$$

requiere que

$$x>0\quad \land \quad x-1>0 \iff x>1$$

La razón por la que el segundo método falla es que

$$\log \frac A B= \log A-\log B$$

sólo se mantiene cuando $A$ y $B$ son ambos positivos.

Para obtener una solución correcta, también podemos utilizar el segundo método considerando todos los casos de la siguiente manera

• para $x<0$

$$\log\left(\frac{2x}{x-1}\right)>0 \iff \log(-2x)-\log(1-x)>0$$

• para $0<x<1$

$$\log\left(\frac{2x}{x-1}\right)>0 \iff \log(2x)-\log(1-x)>0$$

• para $x>1$

$$\log\left(\frac{2x}{x-1}\right)>0 \iff \log(2x)-\log(x-1)>0$$

que es una forma menos eficaz de proceder.