¿Es cierto que $\mathfrak{X}(M\times I)\simeq (C^\infty(M\times I)\otimes_{C^\infty(M)} \mathfrak{X}(M))\oplus C^\infty(M\times I)?$

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad lisa y $I:= [0, 1]$ . Sea $\mathfrak{X}(M)$ sea el $C^\infty(M)$ -de campos vectoriales en $M$ y $\mathfrak{X}(M\times I)$ sea el $C^\infty(M\times I)$ -de campos vectoriales en $M\times I$ . ¿Es cierto que existe un isomorfismo de $C^\infty(M\times I)$ -Módulo $$\mathfrak{X}(M\times I)\simeq (C^\infty(M\times I)\otimes_{C^\infty(M)} \mathfrak{X}(M))\oplus C^\infty(M\times I)?$$

El $C^\infty(M)$ -estructura de módulo en $C^\infty(M\times I)$ es inducido por el morfismo de álgebras $\textrm{pr}_1^*:C^\infty(M)\longrightarrow C^\infty(M\times I)$ donde $\textrm{pr}_1:M\times I\longrightarrow M$ es la proyección sobre el primer componente y el $C^\infty(M\times I)$ -estructura de módulo en $C^\infty(M\times I)$ viene dado por el producto puntual de funciones.

Gracias.

Answer 1

Así es como yo lo haría. No es realmente una respuesta completa a la pregunta, pero es demasiado larga para un comentario.

Supongamos que el haz tangente de $M$ es trivial, es decir, es isomorfo a $M\times\mathbb{R}^n$ donde $n$ es la dimensión de $M$ . Entonces admite una base global, que denotamos por $\partial_1,\ldots,\partial_n$ . El haz tangente de $I$ es canónicamente trivial y tiene una base $\partial_t$ y $T(M\times I)\cong TM\oplus TI$ a través de los mapas de proyección. Por lo tanto, un campo vectorial $X\in\mathfrak{X}(M\times I)$ siempre se puede escribir como $$X(m,t) = X^1(m,t)\partial_1+\cdots+X^n(m,t)\partial_n + X^t(m,t)\partial_t$$ para las funciones $X^i\in C^\infty(M\times I)$ . Se deduce que tenemos un isomorfismo $$\mathfrak{X}(M\times I)\cong C^\infty(M\times I)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}^{n+1}\ .$$ En particular, esto es siempre cierto si $M$ es un subconjunto abierto del espacio euclidiano, y por tanto siempre es cierto localmente para cualquier colector.

En general, podemos hacer lo siguiente. Un campo vectorial $X$ en $M\times I$ puede descomponerse en $X=X^M + X^I$ con $X^M:M\times I\to TM$ y $X^M:M\times I\to TI$ . Dado que el haz tangente de $I$ es trivial, podemos ver $X^I$ como un mapa suave, $$X^I:M\times I\longrightarrow\mathbb{R}$$ por lo que tenemos un isomorfismo $$\mathfrak{X}(M\times I)\cong\Gamma(M\times I,TM)\oplus C^\infty(M\times I)$$ donde $\Gamma(M\times I,TM)$ denota los mapas $M\times I\to TM$ tal que la imagen de $(m,t)$ está en $T_mM$ . no sé si se puede decir más en general.