Función inversa compleja

Question

Tengo un problema al resolver una función inversa. Normalmente cuando tengo una función básica y trato de encontrar su inversa no es un problema. Simplemente resuelvo para X y lo encuentro. Pero ahora tengo una más complicada y no sé cómo empezar.

Si la función inversa es $$f^{-1}(x+2) = \frac{3x-2}{2x+3}$$

Tengo que encontrar

$$f\left( \frac{1}{x-4} \right).$$

Realmente no sé por dónde empezar. Sabría resolverlo si fuera sencillo como simplemente f(x) pero esto es más complejo. Si alguien pudiera mostrarme el paso a paso me ayudaría mucho. Gracias. :D

Answer 1

Sugerencia: Si $f^{-1}(x+2)=\frac{3x-2}{2x+3}$ entonces $f^{-1}(x)=\frac{3(x-2)-2}{2(x-2)+3}=\frac{3x-8}{2x-1}$ y se puede resolver para $f$ en consecuencia.

Answer 2

Fuerza bruta: $$f^{-1}(x) = \frac{3x-8}{2x-1} \Rightarrow y(2x-1) =3x -8 \Rightarrow x(2y-3) = y - 8 \Rightarrow f(x) = \frac{x-8}{2x-3}.$$

Por lo tanto, se deduce que:

$$f\left(\frac{1}{x-4}\right) = \frac{\frac{1}{x-4} - 8 }{\frac{2}{x-4} - 3} = \frac{1 - 8(x-4)}{2-3(x-4)} = \frac{8x-33}{3x-14}$$

Answer 3

Esto es lo que puedes hacer: primero, escribe $z=x-2$ . A continuación, resuelva la ecuación para $z$ , que se convierte en: $$ f^{-1}(z)=\frac{3(z-2)-2}{2(z-2)+3} $$ por lo tanto, resolver la ecuación $f^{-1}(z)=y$ para $z$ y obtener $$ z=\frac{8-y}{3-2y} $$ con lo que se obtiene la expresión explícita de $f$ para ser $$ f(y)=\frac{8-y}{3-2y} $$ Por último, sustituya $y=\frac{1}{x-4}$ en esta ecuación y obtener el resultado deseado, que es $$ f(\frac{1}{x-4})=\frac{8x-33}{3x-14}. $$