Integral indefinida de la función suelo Integración por sustitución

Question

De saber que la antiderivada de la función suelo es x*floor(x) ¿es posible encontrar la derivada de una función contenida en una función suelo?

La pregunta concreta que tenía en mente es floor(y(x)/17) y creo que de la misma manera y en una ecuación puede ser tratada como y función de x, intenté usar la integración por sustitución.

Sin embargo, la integral parece ser demasiado compleja para integrarla; ya que al utilizar la regla de sustitución, cada integración abre una nueva iteración de otra integral, a veces incluso igualando a la L.H.S. pero incapaz de ser simplificada. Es una pena que mi trabajo en bruto esté demasiado desordenado para mostrarlo aquí.

Se espera que alguien pueda arrojar algo de luz sobre cómo integrar implícitamente, un ejemplo de una ecuación iterada similar puede estar bien, pero lo mejor sería que la integral de la ecuación previa se pueda resolver.

Answer 1

En primer lugar, la antiderivada para $\;\lfloor x \rfloor$ es $x\lfloor x \rfloor - \frac12 \lfloor x \rfloor(\lfloor x \rfloor + 1)\;$ no $x \lfloor x\rfloor$ .

Para cualquier función continua $g(x)$ definido en $(0^{-}, L^{+})$ para algunos $L > 0$ que satisface:

• Los puntos $\lambda_i \in [0,L]$ con valor integral $g(\lambda_i)$ están todos aislados.
• Para cualquier $\lambda_i$ , $g(x)$ es estrictamente monótona en alguna vecindad de $\lambda_i$ .
  Definir $\epsilon_i = \pm 1$ depende de si $g(x)$ está aumentando o disminuyendo allí.

Si se interpretan todas las integrales implicadas como Integral de Riemann Stieltjes se puede integrar por partes el integrando $\lfloor g(t)\rfloor$ en un intervalo $[0,x ] \subset [0,L]$ y conseguir: $$\int_0^x \lfloor g(t) \rfloor dt = \int_{0^{-}}^{x^{+}} \lfloor g(t) \rfloor dt = x \lfloor g(x) \rfloor - \int_{0^{-}}^{x^{-}} t\,d \lfloor g(t)\rfloor = x \lfloor g(x) \rfloor - \sum_{i : \lambda_i \in [0,x]} \epsilon_i \lambda_i $$ El problema de calcular la antiderivada se reduce a una suma sobre la posición de discontinuidad de $g(x)$ .

Consulta la entrada de la wiki de la integral de Riemann-Stieltjes, una vez que entiendas bajo qué condición se puede integrar por partes, un montón de integrales sobre funciones con sólo salto discontinuo pueden ser convertidas a y desde las sumas correspondientes fácilmente.

Answer 2

No, y tu integral es incorrecta. La función suelo se trata como una constante para obtener una antiderivada que cumpla el primer teorema fundamental. La derivada real es una cuestión de eliminar la discontinuidad de cualquier función entera mayor. Dicha cuestión no ha sido respondida todavía y es una "serie de saltos" desconocida. Es decir, la suma de todos los saltos producidos cuando el mayor entero cambia de paso.

La verdadera integral es:

$$ x[x] - \frac {[x]([x]+1)}2 $$

Answer 3

$\lfloor f(t) \rfloor = \int_0^t \sum_{i=0}^{t+\epsilon}\left(f(a_i+\epsilon) - f(a_i-\epsilon)\right) \delta(x-a_i) dx$ donde el $a_i$ son los puntos donde $f(t) \in \mathbb{N}$ . la integración por partes con Dirac funciona si : es una integral en un intervalo finito $[b,c]$ no hay Dirac en los límites, y los Dirac se integran por un $C^1$ función en $[b,c]$ . si el intervalo es $[b;\infty[$ entonces el límite $c\to \infty$ debe ser investigado. su problema es invertir esa integración por partes así funciona. ten en cuenta que $\delta(x^2-a)$ no tiene sentido: sólo $\delta(x-a)$ se permite y que cada vez que se obtiene un Dirac. Así que la integración de un $\delta$ ¡no es un problema, y por lo tanto derivar la función obtenida tampoco. esto significa que no intentes hacer un cambio de variable cuando integras un Dirac ! (o al menos respeta las reglas raras para ello)