Demostrar que si $\{a_n\}$ converge a $a$ y $|a|<1$ que $\{a_n^n\}$ converge a $0$ .

Question

Tengo la idea de que como $|a|<1$ entonces para un tamaño suficientemente grande $n$ $a_n<1$ para que cuando se tome el $n^{th}$ potencia los valores de la secuencia se vuelven muy pequeños. Estoy luchando para escribir el verdadero $\epsilon-N$ sin embargo, la prueba. Mis inecuaciones nunca dan lo que necesito y sigo cometiendo errores y obteniendo inecuaciones que ni siquiera son ciertas.

Por ejemplo, sé que necesito $|a_n^n|<\epsilon$ para cualquier $\epsilon$ . Trabajando hacia atrás podría obtener esto si $|a_n|<\epsilon^{1/n}$ pero esto no sucederá porque el $a_n^{'s}$ están todos cerca de $a$ .

Answer 1

$n\log|a_{n}|\rightarrow-\infty$ desde $\log|a_{n}|\rightarrow\log|a|<0$ Así que $|a_{n}|^{n}=\exp(n\log|a_{n}|)\rightarrow 0$ y por lo tanto $a_{n}^{n}\rightarrow 0$ .

$\epsilon$ -argumento:

Dado $\epsilon>0$ ya que $|a|<1$ podemos elegir un $\eta>0$ tan pequeño que $|a|+\eta <1$ . Podemos tomar una $N$ tan grande que $(|a|+\eta)^{N}<\epsilon$ . Para el $\eta>0$ podemos elegir algunos $n_{0}\geq N$ tal que $|a_{n}-a|<\eta$ para todos $n\geq n_{0}$ Así que $|a_{n}|<|a|+\eta$ y por lo tanto $|a_{n}|^{n}\leq|a_{n}|^{N}<(|a|+\eta)^{N}<\epsilon$ para todos esos $n$ .