Una respuesta reciente me motivó a publicar sobre esto. Siempre he tenido la vaga y desagradable sensación de que, de alguna manera, la teoría de celosías ha sido completamente despojada del lugar importante que merece en las matemáticas -las celosías parecen aparecer en todas partes, el autor o el profesor dice "observen que estas ____ forman una celosía completa" o algo similar, y luego sigue adelante, sin hablar nunca de lo que eso podría implicar. Pero, al no saber actualmente nada sobre ellas, no puedo estar seguro. ¿Cuál sería un buen lugar para aprender sobre la teoría de los entramados, especialmente sus implicaciones para los entramados "naturales" (subgrupos, ideales, etc.)?
Respuestas
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Un buen libro de texto introductorio, fácil de usar y moderno, es el de Davey y Priestley Introducción a los retículos y al orden .
Por cierto, Gian-Carlo Rota solía decir más o menos lo mismo que tú, Zev: que la teoría de entramados había sido despojada del lugar que le correspondía en las matemáticas.
Greg Dan
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TomvB
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George Grätzer ha escrito un par de libros muy apreciados sobre entramados. El Página de Wikipedia recomienda su "Teoría de los entramados. First concepts and distributive lattices" y otros más.
William DeMeo
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Estoy de acuerdo con Gerhard. En mi opinión, "Algebras, Lattices, Varieties I" es el mejor libro sobre álgebra universal y teoría de retículos (quizás el mejor libro de matemáticas de la historia ;) Irónicamente, está descatalogado. Sin embargo, Burris y Sankapanavar también es genial y es gratis.
En cuanto a compartir ejemplos de la utilidad de la teoría de retículas, personalmente, no sé cómo pude pasar mis comps en grupos, anillos y campos antes de conocer la teoría de retículas. Ahora, la única manera de recordar muchos de los teoremas es imaginando la red de subgrupos (subanillos, subcampos).
El profesor Lampe Notas sobre la teoría de Galois y Conjuntos G son grandes ejemplos de cómo estos temas pueden ser vistos de forma abstracta desde la perspectiva del álgebra universal/teoría de retículas. Los apuntes de la teoría de Galois, en particular, destilan la teoría a su núcleo básico, haciéndola muy elegante y fácil de recordar, y destacando el hecho de que las álgebras subyacentes no necesitan ser campos.
Queda la cuestión de qué resultados son realmente resultados del álgebra universal, en lugar de antiguos resultados redactados en lenguaje de álgebra universal. Esa es una pregunta interesante, y tal vez debería ser el tema de otro post de mathoverflow...
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mk.
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