¿Cómo se determina un sistema de raíces?

Question

Un dato de la raíz viene dado por:

• Un subconjunto $R$ de un grupo abeliano libre $M$
• Un subconjunto $C$ del grupo abeliano libre dual Hom $(M,\mathbf{Z})$
• Una biyección entre $R$ y $C$

sujeta a condiciones. Un sistema de raíces viene dado por un

• Un espacio vectorial V sobre los números reales $\mathbf{R}$
• Un emparejamiento $V \times V \to \mathbf{R}$
• Un subconjunto $R$ de $V$

con condiciones.

Un dato de la raíz debe determinar un par de sistemas de raíces, uno en $M \otimes \mathbf{R}$ y una en Hom $(M,\mathbf{Z}) \otimes \mathbf{R}$ . Pero, ¿qué es el producto escalar en cualquiera de estos espacios vectoriales reales?

Answer 1

Las condiciones que definen un punto de referencia raíz $(M,R,M',C)$ (en su notación, $M'=\mathrm{Hom}(M,\mathbb{Z})$ pero prefiero tomar un emparejamiento perfecto $\left<\cdot,\cdot\right> : M'\times M\to\mathbb{Z}$ entre los grupos abelianos libres $M'$ y $M$ lo que equivale a una identificación de $M'$ con el dual de $M$ ) le dan inmediatamente ese $R$ es un sistema de raíces (clásico) en $M_\mathbb{R}:=M\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{R}$ y $C$ es un sistema de raíces (dual a $R$ ) en $M'_\mathbb{R}:=M'\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{R}$ . Ahora, como el grupo $M$ se supone que es libre, el emparejamiento perfecto $\left<\cdot,\cdot\right>$ se extiende a $\left<\cdot,\cdot\right> : M'_\mathbb{R}\times M_\mathbb{R} \to\mathbb{R}$ y la forma bilineal

$$(x,y):=\sum_{\alpha\in R} \left<\alpha^\vee,x\right>\left<\alpha^\vee,y\right>$$

(donde por supuesto $\alpha^\vee\in C$ es la imagen de $\alpha\in R$ bajo la biyección $R\to C$ ) define ciertamente un producto interno sobre $M_\mathbb{R}$ . Además, este producto interno también tiene sentido si se acaba de tener un sistema de raíces euclidianas desde el principio, y coincide con el producto interno euclidiano dado.