¿Negación de si y sólo si?

Question

Sea un enunciado P: "X es verdadero si y sólo si Y es verdadero". ¿Cuál es la negación de P? Estoy un poco confundido. Parece que el equivalente digital de este enunciado es P = X e Y. Por lo tanto, la negación de P es (no X) o (no Y), es decir, X o Y es falso. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

La afirmación $X \leftrightarrow Y$ también puede escribirse como $X = Y$ . Así que su negación es $X \neq Y$ que es lo mismo que $X = \overline{Y}$ (ya que $X,Y \in \{0,1\}$ ), que es lo mismo que $\overline{X} \leftrightarrow Y$ .

Answer 2

No tienes razón. Deja que $X = (\ell$ es par) y $Y = (\ell$ no es impar). Entonces, claramente $X \Leftrightarrow Y$ pero "( $\ell$ no es par) o ( $\ell$ es impar)" es estrictamente más débil; usted quiere "( $\ell$ no es ni siquiera) $\Leftrightarrow$ ( $\ell$ es impar)" para que sea cierto.

Answer 3

Me gustaría abordar esto en tres partes, y voy a ceñirme a una descripción clásica, aunque la descripción mecánica cuántica es en cierto modo más fácil e igual de válida.

1. Superposición es el principio de que las amplitudes debidas a dos ondas que inciden en el mismo punto del espacio al mismo tiempo pueden sumarse ingenuamente, pero las ondas no se afectan entre sí .{#}

   Esta última parte es lo suficientemente importante como para escribirla de nuevo: las ondas no se afectan entre sí . Pueden, de hecho, pasar a través del otro.

   A continuación podemos tratar cada onda como una onda plana y, por tanto, descrita por una amplitud $A$ un número de onda $\vec{k}$ y una fase $\phi$ . El número de onda codifica tanto la dirección de propagación (por eso es un vector) y la frecuencia (en valor absoluto) $|k| = \frac{\omega}{c} = \frac{f}{2 \pi c}$ .

   Esta descripción no es completa porque (a) la naturaleza planar es sólo aproximada y (b) incluso teniendo en cuenta que la fase puede ser una función de la posición en el frente de onda; pero podemos descuidar con seguridad estas cuestiones.

   Así que en cualquier punto del espacio y el tiempo tenemos un gran revoltijo de diferentes ondas todas sumadas $$ \sum_{\text{directions}} \int d\omega \int d\phi A(\vec{k},\phi) e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x} - \omega t + \phi)} $$

2. Tu ojo es una cámara: tiene una pequeña abertura con un elemento de enfoque (lente) en la parte delantera y una superficie de proyección sensible a la luz (retina) en la parte trasera. Clasifica las ondas de luz entrantes de dos maneras.

   En primer lugar, el cristalino enfoca la luz hacia un punto concreto de la retina según su dirección. Eso hace que la suma sobre la dirección desaparezca, porque cada parche de la retina ve sólo una dirección (bueno, un rango muy pequeño de direcciones). Si la lente no tiene la forma adecuada, se pierde algo de esto y la imagen se vuelve borrosa. Entonces se necesitan gafas.

   En segundo lugar, las zonas individuales de la retina son sensibles a la luz de diferentes rangos de frecuencia{*}. Así, para cada bastón o cono, la integral sobre las frecuencias angulares $\omega$ se reduce a límites bastante moderados (la visión humana se extiende aproximadamente por una octava del espectro electromagnético).

   Eso todavía nos deja con la suma sobre las fases, y voy a eludir esta parte del problema diciendo que son aproximadamente constantes sobre las pequeñas dimensiones de la lente del ojo y la escala de tiempo de la respuesta de la retina; si eso no te hace feliz, te remitiré al comentario de Genneth: $\langle E^2 \rangle \neq \langle E \rangle^2$ .

3. Las radios viven en el espacio de Fourier: {+} Suelen aceptar señales de un conjunto muy amplio de direcciones, por lo que no obtenemos el filtrado espacial que se consigue con el ojo. Sin embargo, la electrónica que los respalda sólo selecciona una banda muy estrecha de frecuencias. En esencia, inspeccionan las señales entrantes en el espacio de Fourier. Y la señal que se busca tiene una periodicidad adicional (ya sea de amplitud en AM o de frecuencia en FM) en el rango audible también, por lo que se realiza otra ronda de filtrado y generalmente se tiene una señal restante dominante. Las señales intencionadas tienen fases constantes, mientras que las señales no intencionadas (es decir, el ruido de fondo) tienen fases aleatorias y tienden a anularse.

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{#} En otra respuesta, anna habla un poco de las condiciones en las que se rompe esta afirmación clásica.

{*} El mecanismo por el que los bastones y los conos responden a la luz es intrínsecamente mecánico cuántico, el medio por el que esas señales se propagan al cerebro es intrínsecamente bioquímico y el post-procesamiento realizado por el cerebro es un tema enorme en sí mismo; todo lo cual está más allá del alcance de esta discusión.

{+} Radios tradicionales. Como el trabajo de AM/FM en el coche de tu abuelo (ya que todos somos gente del siglo XXI y tenemos un widget combinado de GPS y reproductor de MP3 o algo así). La banda ultra ancha, como tu estación base inalámbrica, es otra cosa.

Answer 4

No lo es. No soy un experto, pero voy a dar mi opinión. En general, cuando se tiene un modelo jerárquico, digamos

$y|\Theta_{1} \sim \text{N}(X\Theta_{1},\sigma^2)$

$\Theta_{1}|\Theta_{2} \sim\text{N}(W\Theta_{2},\sigma^2)$

Hacemos hipótesis de independencia condicional, es decir, condicionada a $\Theta_{2}$ El $\Theta_{1}$ son intercambiables. Si el segundo nivel no es intercambiable, entonces se puede incluir otro nivel que lo haga intercambiable. Pero incluso en el caso de que no pueda hacer una suposición de intercambiabilidad, el modelo puede seguir ajustándose bien a sus datos en el primer nivel.

Por último, pero no menos importante, la intercambiabilidad es importante sólo si quieres pensar en términos del teorema de representación de De Finetti. Podría pensar que los priores son herramientas de regularización que le ayudan a ajustar su modelo. En este caso, el supuesto de intercambiabilidad es tan bueno como lo es el ajuste de su modelo a los datos. En otras palabras, si piensa en el modelo jerárquico bayesiano como una forma de conseguir un mejor ajuste a sus datos, entonces la intercambiabilidad no es esencial en ningún sentido.

Answer 5

$X\leftrightarrow Y$ es la conjunción de $X\leftarrow Y$ y $X\rightarrow Y$ . La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones; la negación de $P\rightarrow Q$ es $P\wedge \neg Q$ . Así que tenemos: \begin {align*} \neg (X \leftrightarrow Y) & \Longleftrightarrow \neg\Bigl ( (X \rightarrow Y) \wedge (Y \rightarrow X) \Bigr ) \\ & \Longleftrightarrow \neg (X \rightarrow Y) \vee \neg (Y \rightarrow X) \\ & \Longleftrightarrow (X \wedge \neg Y) \vee (Y \wedge \neg X). \end {align*} Así que la negación de " $X$ es verdadera si y sólo si $Y$ es cierto" es "O bien $X$ es verdadera y $Y$ es falso, o $X$ es falso y $Y$ es cierto". Añadido Como ocurre, tal y como señala Rahul Narain en su comentario, esto equivale a su vez a " $X$ es verdadera si y sólo si $Y$ es falso" (sólo hay que comparar los casos en que cada uno es verdadero). Así que también se obtiene que $$\neg(X\leftrightarrow Y) \Longleftrightarrow X\leftrightarrow \neg Y \Longleftrightarrow \neg X\leftrightarrow Y.$$