¿Cómo se justifica el significado físico de una representación irreducible?

Question

Quizá no sea una pregunta totalmente matemática, pero considérala una pregunta pedagógica sobre la teoría de la representación si quieres evitar las preguntas de tipo físico sobre la MO.

He estado leyendo el libro de Singer Linealidad, simetría y predicción en el átomo de hidrógeno y estoy tratando de entender el principal argumento físico (y no matemático) del texto. El argumento postula, si lo entiendo bien, que un sistema cuántico descrito por un espacio de Hilbert $H$ en el que un grupo $G$ de simetrías actúa por transformaciones unitarias debe tener la propiedad de que sus "estados elementales" "son" subrepresentaciones irreducibles de la representación de $G$ en $H$ . Comienza este argumento en la sección 5.1:

Los subespacios invariantes son los únicos físicamente naturales. Recordemos de la sección 4.5 que en un sistema cuántico con simetría, existe una representación natural $(G, V, \rho)$ . Cualquier objeto físicamente natural debe parecer igual a todos los observadores. En particular, si un subespacio tiene significado físico, todos los observadores equivalentes deben estar de acuerdo en la cuestión de la pertenencia de un estado particular a ese subespacio.

y lo continúa en la sección 6.3:

Sabemos por numerosos experimentos que todo sistema cuántico tiene *estados elementales*. Un estado elemental de un sistema cuántico debe ser **independiente del observador**. En otras palabras, cualquier observador debería ser capaz (en teoría) de reconocer ese estado experimentalmente, y las observaciones deberían coincidir. En segundo lugar, un estado elemental debería ser indivisible. Es decir, no se debería poder pensar en el estado elemental como una superposición de dos o más estados "más elementales". Si aceptamos el modelo de que todo estado reconocible corresponde a un subespacio vectorial del espacio de estados del sistema, entonces podemos concluir que los estados elementales corresponden a representaciones irreducibles. La independencia de la elección del observador obliga al subespacio a ser invariante bajo la representación. La naturaleza indivisible del subespacio exige que éste sea irreducible. Por tanto, los estados elementales corresponden a representaciones irreducibles. Más concretamente, si un vector $w$ representa un estado elemental, entonces $w$ debe estar en un subespacio invariante *irreducible*. $W$ es decir, un subespacio cuyos únicos subespacios invariantes son él mismo y $0$ . De hecho, cada vector en $W$ representa un estado "indistinguible" de $w$ como consecuencia del ejercicio 6.6.

(Para las personas que realmente conocen su cuántica, Singer ignora la distinción entre representaciones y representaciones proyectivas hasta más adelante en el libro).

Mi primer problema con este argumento es que Singer nunca da una definición precisa de "estado elemental". Mi segundo problema es que no estoy seguro de qué principio físico está en juego cuando postula que los subespacios físicamente naturales y los estados elementales deben ser independientes del observador (es decir, invariantes bajo la acción de $G$ ). ¿Qué suposición subyacente de la mecánica cuántica, o lo que sea, está en juego aquí? ¿Por qué un matemático sin formación significativa en física debería encontrar esto razonable? (Tengo la misma pregunta sobre la identificación de las partículas elementales con representaciones irreducibles del "grupo de simetría del universo", así que cualquier comentario sobre este argumento físico también es bienvenido).

Singer continúa utilizando esta suposición para deducir el número de electrones que llenan varios orbitales de electrones, y no podré convencerme de que esto tiene sentido hasta que entienda la suposición física que nos permite utilizar representaciones irreducibles para hacerlo.

Answer 1

He estado luchando con cuestiones muy similares y estaba casi listo para preguntar aquí, pero luego encontró esta pregunta, así que en su lugar voy a publicar mis divagaciones como una "respuesta" para evitar la duplicación de preguntas (por supuesto, no responde a nada).

La historia oficial parece ser algo así (por ejemplo en el clásico de Weyl): Mira algo como $H=-\Delta + V(|x|)$ en $L^2(\mathbb R^3)$ . Entonces la acción natural de las rotaciones $R\in SO(3)$ en $L^2$ por los mapas unitarios $(R\cdot f)(x) = f(R^{-1}x)$ es una simetría del sistema; esto parece obvio, especialmente si no especifico lo que quiero decir con simetría. "Por lo tanto" las representaciones irreducibles de $SO(3)$ debe ser importante.

Me encantaría que este "por tanto" se explicara en estilo matemático, pero después de leer un poco por ahí, mi impresión actual es que no hay nada de eso. Más bien, parece ser un vaticinium ex eventu: Por ejemplo, los armónicos esféricos desempeñan un papel fundamental a la hora de analizar $H$ y estos nos dan representaciones de dimensión finita. La representación en $\mathbb C^2$ (y por alguna razón ahora también hemos encontrado conveniente cambiar ligeramente $SO(3)$ a $SU(2)$ ) aparece en la descripción del giro. "Por lo tanto", concluimos que las representaciones deben ser relevantes en general.

Como esta respuesta está escrita desde la ignorancia, los comentarios son muy bienvenidos.

Answer 2

La física suele realizarse mediante el enfoque hamiltoniano o la integral de trayectoria de Feynman. Entonces, para el estado estacionario (independiente del tiempo, cuando la energía se conserva por el teorema de Noether), la simetría del sistema es de hecho la simetría del Hamiltoniano o del funcional de Lagrange. Para tal sistema, el espacio de Hilbert debería ser una simple suma de subespacios para los cuales el Hamiltoniano actúa de manera invariante, porque más o menos U(t) = exp(-iHt) define el "operador de evolución" en este espacio de Hilbert. La solución completa con el tiempo para la ecuación de Schroedinger proviene de la fórmula $\psi(t) = U(t)\psi_0$ donde $\psi_0$ es el estado inicial. Así que cada cantidad que es invariante bajo la acción del grupo también conmuta con H, así que con U(t) y entonces es invariante bajo la evolución del tiempo lo que significa que es una cantidad invariante.

El mismo caso es para simetrías más complicadas como para las partículas elementales en la teoría cuántica de campos, concretamente el Modelo Estándar aquí donde la simetría más importante es el grupo de Poincaré completo, además de algunas simetrías de campo internas que definen a los fermiones, bosones, etc.

El estado elemental supongo que es un estado estable para dicha evolución, pero si recuerdo bien no es una terminología estándar para los físicos.

Para la mecánica cuántica no relativista intente Mecánica cuántica de Schiff

Para las partículas elementales echa un vistazo: Weinberg La teoría cuántica de los campos donde se puede encontrar esta afirmación de manera más formal, pero también con un significado físico.

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Notas adicionales: en el nivel fundamental de la física es lo mismo que en el nivel fundamental de las matemáticas: inducción incompleta . A partir de los hechos que conocemos hacemos construcciones basadas en la lógica y la deducción. Pero "el verdadero significado de las relaciones" es algo oculto. Así que probablemente no hay mejor manera de explicar por qué los estados propios del hamiltoniano son tan importantes además: porque funciona. En todos los sistemas físicos cuánticos, por lo que sé, la explicación del comportamiento del sistema puede reducirse a operaciones de simetría, y a representaciones de la misma. Por supuesto, estamos acostumbrados a construir sistemas formales simples basados en axiomas que explican esto. Y probablemente es la mejor manera, especialmente para fines educativos. Pero a veces olvidamos que en la física siempre hay algunas condiciones adicionales, relaciones, influencias, que no podemos explicitar, porque no las conocemos. Nosotros no describimos la realidad en la física, sólo construimos algunos modelos, y asumimos algunos objetos que son puramente teóricos. Así que si preguntas: por qué te preocupas por las cantidades invariantes, la respuesta es: porque puedes poseer sólo una pequeña cantidad de información sobre el sistema cuántico. Cada medición macroscópica toma una cantidad finita de tiempo, mientras que durante ese tiempo el sistema puede cambiar su estado millones de veces. Sólo los estados que cambian muy lentamente, o que son estados estables, pueden ser vistos en el experimento. Por supuesto, podemos ver los efectos de esos cambios, por ejemplo, mediante patrones de interferencia, pero en realidad la mecánica cuántica no trata de la realidad en sí, sino del estado de nuestro conocimiento sobre la realidad. Esto es una cuestión de interpretación, por supuesto, así que probablemente haya físicos que tengan una opinión diferente. En el nivel de las operaciones matemáticas formales puede parecer lo mismo, pero la física sin explicación no tiene valor en la práctica. Y la explicación no es más que una inducción incompleta. Es lo mismo que con la tesis de Church-Turing. ¿Por qué lo preguntamos? ¿Cuál es la razón más convincente para creer en la tesis de Church? que en opinión de los matemáticos no es una cuestión real, y tal vez filosófica. ¿Por qué? Porque la matemática en esta área utiliza la Inducción Incompleta ( porque cada modelo de computabilidad que conozca ...), y no hay ninguna justificación adicional. Así que la física sí.

Answer 3

Supongo que habrás visto la mayoría de los artículos de la wikipedia sobre clasificación de Wigner y similares, que por lo que recuerdo no abordan la interesante cuestión que planteas.

Hace unos años me planteé una cuestión estrechamente relacionada: dado un sistema cuántico como una caja negra, ¿cómo se pueden identificar las partículas elementales de este sistema? Está claro (en el sentido la clasificación de Wigner) cómo hacerlo cuando el sistema se compone de una sola partícula. el sistema consiste en una sola partícula, pero en un sistema de múltiples partículas (como el universo) es posible que un grupo de operadores que conmutan con el Hamiltoniano para actuar irreducible. La respuesta a la que finalmente me decidí es que identificar las partículas elementales de un sistema es esencialmente tan arbitraria como escribir el hamiltoniano como una suma de un término cinético y un término de interacción. Me alegraría mucho si alguien pudiera corregir o aclarar mi especulación aquí.

Una vez hecho esto, me siento cómodo tomando la respuesta a su segunda pregunta (sobre la identificación de partículas elementales con representaciones irreducibles del "grupo de simetría grupo de simetría del universo") es: las partículas elementales no existen en ningún sentido real (como en la QFT), pero en un sistema cuántico clásico uno puede definirlas útilmente en términos de representaciones irreducibles irreducibles de esta manera.

Answer 4

Se puede utilizar la teoría de la representación de grupos para reducir las dimensiones del problema. Y puedes explicar las degeneraciones energéticas. ¡Eso es todo!