¿Cómo se justifica el significado físico de una representación irreducible?

Question

Quizá no sea una pregunta totalmente matemática, pero considérala una pregunta pedagógica sobre la teoría de la representación si quieres evitar las preguntas de tipo físico sobre la MO.

He estado leyendo el libro de Singer Linealidad, simetría y predicción en el átomo de hidrógeno y estoy tratando de entender el principal argumento físico (y no matemático) del texto. El argumento postula, si lo entiendo bien, que un sistema cuántico descrito por un espacio de Hilbert $H$ en el que un grupo $G$ de simetrías actúa por transformaciones unitarias debe tener la propiedad de que sus "estados elementales" "son" subrepresentaciones irreducibles de la representación de $G$ en $H$ . Comienza este argumento en la sección 5.1:

Los subespacios invariantes son los únicos físicamente naturales. Recordemos de la sección 4.5 que en un sistema cuántico con simetría, existe una representación natural $(G, V, \rho)$ . Cualquier objeto físicamente natural debe parecer igual a todos los observadores. En particular, si un subespacio tiene significado físico, todos los observadores equivalentes deben estar de acuerdo en la cuestión de la pertenencia de un estado particular a ese subespacio.

y lo continúa en la sección 6.3:

Sabemos por numerosos experimentos que todo sistema cuántico tiene *estados elementales*. Un estado elemental de un sistema cuántico debe ser **independiente del observador**. En otras palabras, cualquier observador debería ser capaz (en teoría) de reconocer ese estado experimentalmente, y las observaciones deberían coincidir. En segundo lugar, un estado elemental debería ser indivisible. Es decir, no se debería poder pensar en el estado elemental como una superposición de dos o más estados "más elementales". Si aceptamos el modelo de que todo estado reconocible corresponde a un subespacio vectorial del espacio de estados del sistema, entonces podemos concluir que los estados elementales corresponden a representaciones irreducibles. La independencia de la elección del observador obliga al subespacio a ser invariante bajo la representación. La naturaleza indivisible del subespacio exige que éste sea irreducible. Por tanto, los estados elementales corresponden a representaciones irreducibles. Más concretamente, si un vector $w$ representa un estado elemental, entonces $w$ debe estar en un subespacio invariante *irreducible*. $W$ es decir, un subespacio cuyos únicos subespacios invariantes son él mismo y $0$ . De hecho, cada vector en $W$ representa un estado "indistinguible" de $w$ como consecuencia del ejercicio 6.6.

(Para las personas que realmente conocen su cuántica, Singer ignora la distinción entre representaciones y representaciones proyectivas hasta más adelante en el libro).

Mi primer problema con este argumento es que Singer nunca da una definición precisa de "estado elemental". Mi segundo problema es que no estoy seguro de qué principio físico está en juego cuando postula que los subespacios físicamente naturales y los estados elementales deben ser independientes del observador (es decir, invariantes bajo la acción de $G$ ). ¿Qué suposición subyacente de la mecánica cuántica, o lo que sea, está en juego aquí? ¿Por qué un matemático sin formación significativa en física debería encontrar esto razonable? (Tengo la misma pregunta sobre la identificación de las partículas elementales con representaciones irreducibles del "grupo de simetría del universo", así que cualquier comentario sobre este argumento físico también es bienvenido).

Singer continúa utilizando esta suposición para deducir el número de electrones que llenan varios orbitales de electrones, y no podré convencerme de que esto tiene sentido hasta que entienda la suposición física que nos permite utilizar representaciones irreducibles para hacerlo.

Answer 1

Los estados invariantes son no los únicos significativos. Incluso en la mecánica clásica, una pelota de béisbol que se desplaza a 90 mph hacia mi cabeza es bastante significativa para mí, aunque no tenga ninguna importancia para mi colega matemático que está a una milla de distancia.

El enfoque en los subespacios invariantes no proviene de una suposición, sino de la forma en que los físicos hacen su trabajo. Quieren predecir el comportamiento haciendo cálculos. Quieren encontrar leyes que sean universales. Quieren ecuaciones y reglas de cálculo que sean invariantes bajo un cambio de observadores.

Cualquier cálculo particular puede requerir una elección de coordenadas, pero las reglas deben ser invariables bajo esa elección. Si hablamos de una trayectoria concreta de béisbol, esa trayectoria tendrá un aspecto diferente en distintos sistemas de coordenadas; sin embargo, las reglas que rigen el vuelo del béisbol deben ser las mismas en todos los sistemas de coordenadas equivalentes.

Las características naturales de las pelotas de béisbol surgen de las clases de equivalencia de las trayectorias de las pelotas de béisbol - equivalencia bajo la acción del grupo. En este caso, si fingimos que la tierra es plana, la gravedad es vertical y el aire no se resiste a la pelota de béisbol, el grupo se genera mediante traslaciones y rotaciones del plano. Cualquier propiedad intrínseca, físicamente natural, de la propia pelota de béisbol (como su masa) o su trayectoria (como la velocidad de la pelota) debe ser invariante bajo la acción del grupo. Si no se sabe a priori cuáles serán estas propiedades, una buena manera de encontrarlas es pasar de los casos individuales (la pelota que se dirige hacia mí a 90 mph) a la clase de equivalencia generada por los casos individuales bajo la acción del grupo (el conjunto de todas las pelotas de béisbol concebibles que viajan a 90 mph). Obsérvese que la clase de equivalencia es invariante bajo la acción del grupo, y es precisamente esta invariabilidad la que hace de la clase de equivalencia un objeto de estudio útil para los físicos.

En términos más generales, si se estudia un sistema físico con simetría, es muy probable que los objetos invariantes conduzcan a cantidades físicamente relevantes e importantes. Es más una filosofía que un axioma, pero ha funcionado durante siglos.

Answer 2

No estoy seguro de que haya aquí una suposición física, sino una forma conveniente de hablar del sistema físico. Las representaciones de la mecánica cuántica son unitarias y, aunque típicamente de dimensiones infinitas, también son típicamente reducibles. Por lo tanto, en cierto modo, si se entienden las representaciones irreducibles se puede entender cualquier representación.

Por ejemplo, Wigner argumenta de esta manera en su artículo de 1939 sobre las representaciones unitarias del grupo de Poincaré. Esto podría responder a la segunda versión de tu pregunta sobre las partículas elementales que corresponden a representaciones irreducibles del grupo de Poincaré.

Supongo que lo que intento decir es que un estado correspondiente a una representación reducible $V\oplus W$ es físicamente indistinguible de uno formado por dos estados correspondientes a $V$ y $W$ respectivamente. Por lo tanto, no se gana nada considerando tales estados como "elementales".

Answer 3

Editar: OK, creo que he entendido lo que ella (Singer) está diciendo y lo que QY está pidiendo. La restricción de los estados físicamente reales a subespacios invariantes es, como ella señala, necesaria para que todos los observadores estén de acuerdo en que está en el mismo subespacio. Por ejemplo, ¿cómo puedo demostrar absolutamente que una silla es físicamente real? Pido a un observador independiente que verifique que la silla está ahí.

Aunque los observadores pueden discrepar sobre los valores específicos del resultado de alguna medición debido a los diferentes marcos de referencia, deben estar de acuerdo en que están midiendo la misma cosa. Esto equivale a la noción relativista de invariancia. Ciertas magnitudes de la relatividad son independientes del marco de referencia y tendrán el mismo aspecto para todos los observadores (por ejemplo, la magnitud del cuatro-momento, el intervalo espacio-tiempo, el tiempo propio, etc.).

En la mecánica cuántica, los estados que se encuentran en algún subespacio invariante deben parecer iguales para todos los observadores. La razón por la que suponemos que, en la MQ, los estados físicamente reales deben estar en subespacios invariantes (lo que parece más estricto que la relatividad, que posiblemente permite estados físicamente reales no invariantes) es porque el acto de medir un sistema cuántico lo perturba. Por lo tanto, es la única manera de verificar que realmente se tiene algo en lugar de una simple reliquia producida por la propia observación.

Mi respuesta anterior (dejada aquí como referencia):

Estoy bastante seguro de que los "estados elementales" a los que se refiere corresponden (al menos físicamente) a los estados base del espacio de Hilbert dado, que no son necesariamente los mismos que los estados en los que se encuentra realmente la partícula. Así, por ejemplo, para el espín de una partícula de espín 1/2 (como un electrón), podríamos elegir medir a lo largo de una variedad de ejes. Supongamos que elegimos medir el espín a lo largo del $z$ -eje. El giro será ascendente o descendente. Los estados base correspondientes a estos resultados son

$|0\rangle = \left( \begin{eqnarray} 1 \\ 0 \end{eqnarray}\right)$ y $|1\rangle= \left( \begin{eqnarray} 0 \\ 1 \end{eqnarray}\right)$ .

Hay que tener en cuenta que es posible que la partícula, antes de medirla, esté en un estado completamente diferente, por lo que, al menos antes de realizar una medición, estos estados no se corresponden necesariamente con un estado físico real. Son simplemente la base del espacio de Hilbert en el que se encuentra la partícula. Por ejemplo, antes de la medición, el estado de la partícula podría ser algo así como

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right)$ .

Ahora bien, es posible que se refiera al estado físico real del sistema, que es un poco diferente. Consideremos el estado del producto de dos partículas

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle + |10\rangle\right)$ .

Se llama estado de producto porque se puede escribir

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) \otimes |0\rangle$

donde el estado de una partícula es $|a\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right)$ y el estado del otro es $|b\rangle = |0\rangle$ . Si este es el caso, es importante tener en cuenta que en la mecánica cuántica existen compuestos no producto estados. Son los llamados estados enredados. Un ejemplo de uno es el siguiente estado de Bell,

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00\rangle + |11\rangle\right)$ .

Si este es el significado que Frank quería dar (en contraposición a los estados base) entonces el estado elemental sería los estados factorizables más pequeños a los que se podría reducir un sistema, es decir, podría ser los estados individuales de un estado producto o podría ser un estado entrelazado.

Answer 4

Primero, un poco de historia. Consideremos un Hamiltoniano $H$ en un espacio de Hilbert de dimensión finita $\mathcal{H}$ . Supongamos que $H$ es invariante gauge, es decir $G^{-1}HG = H$ para todos $G$ que pertenece a una representación unitaria de algún grupo $\mathcal{G}$ en $\mathcal{H}$ . De ello se desprende que $G^{-1}U(t)G = U(t)$ (aquí $U(t) = e^{-itH}$ ), y como la representación es unitaria, también se deduce que

$\langle x' | U(t) | x \rangle = \langle x' | G^{-1}U(t)G | x \rangle = \langle x' | G^*U(t)G | x \rangle = \langle Gx' | U(t) | Gx \rangle$

lo que implica que

$\mathbb{P}(x \overset{t}{\longrightarrow} x') = \mathbb{P}(Gx \overset{t}{\longrightarrow} Gx')$ .

Es decir, cualquier invariancia gauge del Hamiltoniano se refleja automáticamente en las probabilidades de transición: los eigenspaces de $H$ son invariantes bajo la acción de $G$ para que cualquier representación unitaria $D : G \rightarrow U(H)$ se restringe a los eigenspaces. Como señala José, normalmente las repeticiones son reducibles, etc. También vale la pena mencionar que mientras los estados físicamente interesantes son invariantes gauge, los eigenestados de energía no tienen por qué serlo (y en el ejemplo de abajo, no lo son).

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Ahora, un ejemplo de cómo funciona esto en la práctica que no requiere ninguna maquinaria matemática de lujo. Consideremos la teoría gauge Ising cuántica 2D

$H = -\lambda \sum_{\square @} \prod_{\ell \in \square} \sigma_3(\ell) - \sum_{\ell @} \sigma_1(\ell)$

donde un enlace $\ell$ con coordenada temporal $t$ se entiende que es espacial, y por tanto tiene una coordenada temporal bien definida $t$ --si escribimos $\ell @ t$ (o suprimir el argumento del tiempo). Una plaqueta elemental puede tener cero o dos enlaces temporales: en el primer caso llamamos a la plaqueta espacial y escribimos igualmente $\square @ t$ .

Los irreps de un producto de $\mathbb{Z}_2$ se puede utilizar para construir una base física. Existe una eigestructura invariante gauge para $H$ y la física se rige únicamente por el parámetro $\lambda$ y la representación unitaria inducida por el gauge de $\mathbb{Z}^M_2$ a $U(\mathcal{H}_2^{\otimes L})$ . Aquí $\mathcal{H}_2$ es el espacio de Hilbert de una sola variable de espín, $L$ es el número de enlaces en la red, y $M$ es el número de ellos que componen un árbol máximo (véase también una de mis respuestas aquí ).

Si quieres un informe que cubra esto en detalle, incluyendo los números a través de MATLAB, deja la información de contacto en un comentario y te enviaré un PDF (lamentablemente sólo lo tengo en Word).

Answer 5

Iré en contra de mi mejor juicio y daré una respuesta. Les dejo con la advertencia de que mi conocimiento de esta área es muy superficial, por lo que puede haber errores en lo que sigue.

La primera pieza del rompecabezas es que a cada sistema mecánico cuántico se le puede asociar un espacio de Hilbert $H$ . Así que fijemos dicho sistema y su espacio de Hilbert asociado $H$ . El estados puros del sistema son, por definición, elementos de la proyectivización $\mathbb{P}H$ de $H$ y cada observable debe considerarse como un operador autoadjunto $A$ en $H$ . El teorema espectral nos dice entonces que $A$ proviene de la integración contra una medida espectral, y esta medida espectral nos permite decir algo sobre la probabilidad de que el observable esté en algún estado puro del sistema.

Ahora bien, uno de los principios de la relatividad especial es que las "leyes de la mecánica cuántica" deben ser independientes del observador, siempre que los observadores estén en movimiento relativo (uniforme). Compárese con la noción clásica de que las "leyes de la mecánica" son las mismas en todos los marcos de referencia (inerciales). Así que siempre que se tenga un grupo de simetrías $G$ de un sistema mecánico cuántico, debería haber una acción inducida del grupo sobre los estados del sistema. La idea es que cada $g \in G$ lleva un marco de referencia a otro. Más concretamente, $g$ debería darnos algún tipo de mapa $T_g$ de $\mathbb{P}H$ a sí mismo, que toma un estado puro $\hat{\psi}$ a otro $T_g(\hat{\psi})$ . (Piensa en la acción del grupo de Poincaré/Lorentz sobre el espacio-tiempo de Minkowski). Imponemos dos condiciones adicionales al mapa $g \to T_g$ . La primera es que $T_{gh}(\hat{\psi}) = T_g \circ T_h(\hat{\psi})$ para todos $g,h \in G$ y $\hat{\psi} \in \hat{H}$ La intuición es que cambiar de marco de referencia de A a B y luego a C es lo mismo que ir de A a C, como siempre. La segunda estipulación es que $(T_g(\hat{\psi_1}), T_g(\hat{\psi_2})) = (\hat{\psi_1}, \hat{\psi_2})$ . Lo justificamos diciendo que si $G$ es realmente un grupo de simetría de nuestro sistema, es decir, uno que no estropea las leyes de la mecánica cuántica, entonces no debería estropear las probabilidades. (Estoy siendo impreciso a propósito, porque no quiero decir mucho sobre la probabilidad).

Un célebre teorema de Wigner nos dice entonces que tal mapa $g \to T_g$ proviene de una representación unitaria de $G$ en $H$ al menos si $G$ es un grupo de Lie semisimple conectado (la condición de semisimple puede debilitarse a una condición de desaparición en la cohomología del álgebra de Lie $H^\ast(\mathfrak{g})$ que no recuerdo). Esto significa que para cada $g \in G$ existe un operador unitario $U_g$ en $H$ tal que $T_g(\hat{\psi}) = \widehat{U_g(\psi)}$ para todos $\psi \in H$ y el mapa $g \to U_g$ es un homomorfismo de $G$ en el grupo unitario $U(H)$ de $H$ . Si hay algunas condiciones de continuidad impuestas en el mapa $g \to T_g$ entonces existen condiciones de continuidad análogas para $g \to U_g$ .

Esto explica cómo aparecen las representaciones unitarias cuando se trata de un grupo de simetría $G$ y un sistema cuántico $H$ . La última pieza es ahora cómo se descompone esta representación. La intuición física que nos guía es que la descomposición de la representación en subrepresentaciones rompe el sistema cuántico en piezas más pequeñas y "elementales". El más simple de estos trozos, el socaldo estados elementales (me gusta pensar que son partículas elementales, aunque probablemente sea un sinsentido), por lo tanto corresponden a las subrepresentaciones más "sencillas": las irreducibles.

Esperemos que esto sea al menos algo útil, y no una completa basura.