Un problema de Cauchy autónomo (extraño)

Question

Dejemos que $f \colon \mathbb R \to \mathbb R$ se define por $$ f(y)=\begin{cases} y & \text{ if } y \le 1 \\ 1 & \text{ if } y>1 \end{cases} $$

Tengo que determinar explícitamente la solución $y_a(\cdot)$ de la problema de Cauchy $$\tag{CP} \begin{cases} y'=f(y) \\ y(0)=a \end{cases} $$ donde $a>0$ .

Bueno, la función $$ y_1(t) = \begin{cases} e^t & \text{ if } t \le 0 \\ t+1 & \text{ if } t > 0 \end{cases} $$

trabaja para $a=1$ (es continua y diferenciable y satisface (CP) para $a=1$ ).

¿Tienes alguna idea para tratar el caso $a\ne 1$ ? ¿Qué podemos hacer?

Answer 1

Si $a > 1$ entonces tenemos el siguiente problema de valor inicial (PIV)

$$\dot{y} (t) = 1, \qquad{} y (0) = a$$

cuya solución es $y (t) = a + t$ para todos $t \geq 0$ . Si $a \leq 1$ , el tenemos el PIV

$$\dot{y} (t) = y, \qquad{} y (0) = a$$

cuya solución es $y (t) = a \, e^t$ para todos $t \in \ [0, t_*]$ donde el instante de tiempo $t_*$ es cuando $y$ llega a $1$ es decir, $y (t_*) =1$ . Obtenemos $t_* = \ln(1 / a)$ . Para $t \geq t_*$ tenemos otro PIV

$$\dot{y} (t) = 1, \qquad{} y (t_*) = 1$$

cuya solución es $y (t) = 1 + (t- t_*)$ para todos $t \geq t_*$ . Finalmente, tenemos que para $a \leq 1$ la solución es

$$y (t) = \left\{\begin{array}{cl} a \, e^t & \textrm{if} \quad{} t \in [0, \ln(1/a)]\\ 1 + (t - t_*) & \textrm{if} \quad{} t \geq \ln(1/a)\end{array}\right.$$

Answer 2

Dejemos que $G_a:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ sea tal que $$ G_a(a)=0,\ G_a'(s)=\frac{1}{f(s)} \ \forall s>0 $$ es decir \begin{eqnarray} G_a(s)&=&\begin{cases} \ln(s/a) & \text{ if } 0<s\le 1\\ s-1-\ln a & \text{ if } s>1 \end{cases} \N - texto{ para } 0<a \le 1\\\\Nde los que se han quedado en el camino. G_a(s)&=& \begin{cases} \ln s -a+1 & \text{ if } 0<s\le 1\\ s-a & \text{ if } s>1 \end{cases} \N - texto{ para } a>1 \fin{i} {eqnarray} Entonces $G_a$ es biyectiva con $G_a^{-1}: \mathbb{R} \to (0,\infty)$ definido por \begin{eqnarray}\tag{1} G_a^{-1}(\tau)&=&\begin{cases} ae^\tau & \text{ if } \tau \ge -\ln a\\ \tau+1+\ln a & \text{ if } \tau < -\ln a \end{cases} \text{ para } 0 < a \le 1\\\N - a G_a^{-1}(\tau)&=& \begin{cases} e^{\tau+a-1} & \text{ if } \tau \ge 1-a\\ \tau+a & \text{ if } \tau < 1-a \end{cases} \text{ para } a > 1 \fin{eqnarray} Por lo tanto $$ y_a'=f(y_a),\ y_a(0)=a \iff t=\int_a^{y_a(t)}G_a'(s)ds=G(y_a(t)), $$ es decir $$ y_a(t)=G_a^{-1}(t), $$ donde $G_a^{-1}$ viene dada por (1).