Esta pregunta ha provocado una reformulación:
¿Cuál es un buen ejemplo de una situación en la que el seguimiento de los isomorfismos conlleva un beneficio tangible?
Creo que se trata de una pregunta seria porque, en realidad, a menudo es una buena idea identificar casualmente las clases de isomorfismo. Para traer a colación un ejemplo de nivel intermedio al que he aludido a menudo, consideremos la clasificación de las superficies topológicas. Cuando se lo explico a los alumnos, escribo conscientemente las igualdades al manipular una forma en otra homeomórfica. Incluso lo hago bastante rápido para fomentar asociaciones intuitivas que probablemente sean útiles. En cualquier caso, para argumentos de este tipo, sería realmente tedioso, y probablemente inútil, escribir los isomorfismos con cierta precisión.
Mientras tanto, en otras ocasiones, también me he unido al coro de críticas que saluda la confusión de la igualdad y el isomorfismo.
El problema es que es bastante difícil encontrar ejemplos realmente llamativos en los que esta atención se vea recompensada. Permítanme empezar con una clase de ejemplos algo especializados. Estos provienen de teoría del descenso . El escenario es un mapa $$X\rightarrow Y,$$ que suele ser sumergible, en algún sentido adecuado a la situación. Se desea que los criterios para un objeto $V$ que se encuentra encima de $X$ por ejemplo un haz de fibras, para que surja como un pull-back de un objeto en $Y$ . Hay una serie de formalismos para tratar este problema, pero sólo mencionaré dos casos. Uno es cuando $Y=X/G$ el espacio orbital de una acción de grupo sobre $X$ . Para $V$ para ser retirado de $Y$ , deberíamos tener $g^*(V)\simeq V$ para cada $g\in G$ . Pero eso no es suficiente. Lo que en realidad se requiere es que haya una colección de isomorfismos $$f_g: g^*(V)\simeq V$$ que son compatibles con la estructura del grupo. Esto significa algo así como $$f_{gh}=f_g\circ f_h,$$ excepto que hay que girar de forma obvia para tener en cuenta el dominio correcto. Así que ya ves, al menos tengo que introducir la notación para los isomorfismos involucrados para formular la condición correcta. En la práctica, cuando se quiere construir algo en $Y$ partiendo de algo en $X$ , tiene que especificar el $f_g$ con bastante precisión.
Otro caso elemental es cuando $X$ es una cobertura abierta $(U_i)$ de $Y$ . Entonces un objeto en $Y$ suele ser equivalente a una colección $V_i$ de objetos, uno en cada $U_i$ pero con datos adicionales. Aquí también, $V_i$ et $V_j$ evidentemente, hay que estar de acuerdo con las intersecciones. Pero eso tampoco es suficiente. Más bien debería haber una colección de isomorfismos $$\phi_{ji}: V_i|U_i\cap U_j\simeq V_j|U_i\cap U_j$$ que son compatibles en los solapamientos triples: $$\phi_{kj}\circ \phi_{ji}=\phi_{ki}.$$ Por cierto, para algo como un haz vectorial, ya que dos cualesquiera del mismo rango son localmente "iguales", está claro que el seguimiento de los isomorfismos será la clave para la transición de las colecciones de objetos locales a un objeto global. El formalismo se aplica concretamente en situaciones en las que se pueden definir algunos objetos sólo localmente, pero se desea pegarlos para obtener un objeto global. Un ejemplo muy concreto que me viene a la mente es el determinante de cohomología para haces vectoriales en una familia de variedades sobre un espacio paramétrico $Y$ . Dado que la definición de este determinante implica una elección de resolución, que podría existir sólo localmente en $Y$ Knudsen y Mumford se esforzaron bastante por demostrar que las construcciones locales se pegan. Entonces Grothendieck sugirió el remedio de definir el determinante provisionalmente como un firmado de la línea, lo que les permitió clavar la $\phi_{ji}$ . Hoy en día, este determinante es una herramienta muy útil, por ejemplo, para generar haces de líneas en espacios de moduli.
Pido disculpas si este último párrafo es demasiado enrevesado para los no especialistas. Parte de la razón por la que lo escribí es para ilustrar que mis principales ejemplos para reforzar el paradigma de "seguir los isomorfismos" son un poco demasiado avanzados para la mayoría de los estudiantes de grado.
Así que, para terminar, me encantaría conocer mejores ejemplos. Como ya se ha sugerido más arriba, estaría bien que fueran accesibles pero sustancialmente esclarecedores. Si quieres discutir, por ejemplo, diferentes bases para espacios vectoriales, sería bueno que el lenguaje del isomorfismo, etc., aclare las cosas de una manera realmente obvia, en lugar de una exposición de conjuntos y elementos.
Añadido: Oh, si tiene ejemplos avanzados, ciertamente me gustaría escucharlos también.
Añadido: Ahora veo que hay tres niveles al menos para distinguir:
Considerar los objetos como iguales frente a considerarlos como isomorfos frente a prestar atención a isomorfismos específicos.
De alguna manera confundí las dos transiciones al hacer la pregunta. Por supuesto, estoy encantado de ver buenos ejemplos que ilustren la naturaleza de cualquiera de ellas, pero me interesa especialmente el segundo refinamiento.
Añadido de nuevo:: Agradezco a todos los que han contribuido con buenos ejemplos, y a Urs Schreiber que se esforzó por instruirme en el Café de categoría n . Como le comenté a Urs allí, estaría especialmente bien ver ejemplos del siguiente tipo.
-
Uno suele pensar $X=Y$ ;
-
Un análisis cuidadoso alienta la opinión $X\simeq Y$ ;
-
Esta perspectiva conduce a una visión y un beneficio realmente nuevos.
Aún mejor sería si algún conocimiento específico del isomorfismo en 2. es importante. Por supuesto, podrían estar implicados más de dos objetos. Inicialmente esperaba alguna aportación de la combinatoria, con el énfasis en las "pruebas biyectivas" y todo eso. ¿Algo?
Añadido, 14 de mayo:
Bien, espero que esta sea la última adición. Debido a que esta pregunta fluyó hacia el café de la categoría n, terminé teniendo una pequeña discusión allí también. Pensé en copiar aquí mi última respuesta, por si alguien más está interesado.
puesto de n-café:
Supongo que a estas alturas es obvio que estoy utilizando una petición concreta para hacer ver la necesidad de "ejemplos pequeños pero llamativos" a favor de la teoría de las categorías.
El otoño pasado, Eugenia Cheng me habló de una visita a alguna universidad para dar una charla coloquio. El anfitrión la recibió con la observación de que no considera la teoría de categorías como un campo de investigación. Vale, probablemente era un poco extremo, pero las versiones más suaves de esa opinión son bastante comunes. Ahora bien, una posible respuesta es considerar a todas esas personas como irracionales y hablar sólo con los amigos (¡que por supuesto son las personas razonables!). Esto no es del todo malo, ya que puede ser una forma de ganar tiempo y obtener la suficiente estabilidad para acabar probando el resultado demoledor que mostrará a todo el mundo. Otra forma es asumir el escepticismo como un reto cotidiano constructivo. Supongo que esto es lo que todo el mundo hace aquí en algún nivel, de todos modos.
Aparte del espacio de bucle derivado, que no es precisamente pequeño, los ejemplos de Urs son todos del tipo simple y sutil que puede, con el tiempo, contribuir a un cambio realmente importante en la perspectiva científica y quizá incluso a la infraestructura de una teoría verdaderamente gloriosa. Por ejemplo, estoy totalmente de acuerdo con los horrores del antiguo formalismo tensorial. Pero no es descabellado pedir una evidencia de utilidad más llamativa y accesible cuando se trata del estado actual de la teoría de categorías.
La importancia de las pequeñas ideas y el lenguaje que se acumulan gradualmente en el edificio de una teoría coherente y poderosa es la interpretación habitual de la filosofía del "mar creciente" de Grothendieck. Sin embargo, el proceso casi nunca es fácil en el camino, especialmente la cuestión de la aceptación por parte de la comunidad. No soy historiador, pero he estudiado geometría aritmética el tiempo suficiente como para tener una idea del clima cambiante que rodea a la teoría de la cohomología etale, por ejemplo, en las últimas décadas. La demostración completa de las conjeturas de Weil tardó en llegar, como sabes. La aceptación llegó lentamente, con muchos fragmentos que esporádicamente daban a la gente la sensación de que todas esas sutilezas y abstracciones realmente valían la pena. Afortunadamente, la racionalidad de la función zeta se demostró pronto. Sin embargo, hubo una prueba anterior bastante concreta de eso también usando $p$ -adico, por lo que dudo que haya sido el gran teorema que convenció a todos. Un verdadero avance se produjo a finales de los años sesenta, cuando Deligne utilizó la cohomología etale para demostrar que la conjetura de Ramanujan sobre su función tau podía reducirse a las conjeturas de Weil. No había forma de hacerlo sin la cohomología etale y la conjetura en cuestión se refería a algo muy preciso, la tasa de crecimiento de las funciones aritméticas naturales. Incluso se podía comprobar numéricamente, lo que impresionó a la gente de la misma manera que lo hace la verificación experimental de una predicción teórica en la física. Claramente, algo profundo estaba ocurriendo. Por supuesto, había muchos otros indicios. La construcción de representaciones completamente nuevas del grupo de Galois de $\mathbb{Q}$ con propiedades muy ricas, la unificación de la cohomología de Galois y la cohomología topológica, una interpretación limpia de los teoremas de dualidad aritmética que dio una reinterpretación de la teoría de campos de clases, etc.
En lo que a mí respecta, siendo fanático de ustedes aquí, creo que este tipo de proceso está ocurriendo en la teoría de las categorías. Pero no creo que haya que ser demasiado irracional para dudar de ello. En una línea similar, no estoy de acuerdo con la opinión de Andrew Wiles de que la física será irrelevante para la teoría de números, pero también creo que su pesimismo es perfectamente sensato.
Creo que estoy tratando de hacer el punto obvio de que la presencia de los pesimistas puede ser muy útil para el desarrollo de una teoría, en la medida en que los optimistas interactúan con ellos de manera constructiva. No he venido mucho a este sitio últimamente, porque el poco tiempo que tengo en Internet tiende a ser absorbido por Math Overflow. Pero he visto el artículo de David post reciente en el artículo de Frank Quinn, que acabó siendo el catalizador de mi pregunta sobre el modus operandi.
En la conferencia de Boston que siguió a la demostración del último teorema de Fermat, me han dicho que Hendrik Lenstra dijo algo así: 'Cuando era joven, sabía que quería resolver ecuaciones diofantinas. También sabía que no quería representar funtores. Ahora tengo que representar funtores para resolver ecuaciones diofantinas". Entonces, ¿debemos concluir que fue tonto al evitar los funtores representables durante tanto tiempo? Yo no lo haría.
Esta respuesta a la pregunta de MO trae a colación la importancia de conocer el isomorfismo específico entre algunos espacios de Hilbert dado por la transformada de Fourier. Este es un ejemplo excelente, especialmente cuando consideramos cómo se relaciona con las diferentes realizaciones de las representaciones del grupo de Heisenberg y los problemas globales que conlleva, digamos que al variar sobre una familia de polarizaciones. Pero no pude resistirme a recordar la insistencia de Irving Segal en que "sólo hay un Espacio de Hilbert". Obviamente, él conocía, entre otras muchas cosas, las diferentes realizaciones de la representación de Stone-Von-Neumann tan bien como cualquiera, así que puedes tomar tu propia conjetura en cuanto al razonamiento detrás de esa proclamación. Ciertamente, puede haber perdido algo con ese tipo de intransigencia filosófica. Pero sospecho que él, y muchos a su alrededor, también ganaron algo.
