Resolver $3a=(b+c+d)^3$ , $3b=(c+d+e)^3$ ,.., $3e=(a+b+c)^3$

Question

Encuentre los valores reales de $a,b,c,d,e$ donde $3a=(b+c+d)^3$ , $3b=(c+d+e)^3$ , $3c=(d+e+a)^3$ , $3d=(e+a+b)^3$ , $3e=(a+b+c)^3$ . Es el problema. No tengo ni idea de eso. Traté de hacerlo usando álgebra básica. Intenté usar los métodos de los polinomios pero fallé. Que alguien me ayude.

Answer 1

Debido a la ciclicidad del sistema podemos suponer que $a\ge b,c,d,e$ . Podemos obtener todas las demás soluciones mediante permutaciones cíclicas.

Tenemos $$3a = (b+c+d)^3 \le (b+c+a)^3 = 3e \le 3a$$ por lo que debemos tener igualdades aquí. Por lo tanto $a=e$ .

Repitiendo el argumento obtenemos consecuentemente $e=d=c=b$ . Por lo tanto, todos los números son iguales. Entonces te queda resolver la ecuación $3a=(3a)^3$ que da $a\in\{-\frac 13, 0, \frac 13\}$ .

Por lo tanto, el sistema tiene tres soluciones: $$(a,b,c,d,e) \in \left\{ \left(-\frac 13,-\frac 13,-\frac 13,-\frac 13,-\frac 13\right), (0,0,0,0,0), \left(\frac 13,\frac 13,\frac 13,\frac 13,\frac 13\right) \right\}$$

Answer 2

Un enfoque, impulsado por la simetría de las ecuaciones, es suponer que todas las variables son iguales. De este modo se obtiene $3a=(3a)^3$ que tiene soluciones $a=0,a=\pm3^{-1}$ . No veo una forma fácil de buscar otros y no pude conseguir que Alpha los resolviera.