Demostrar que el cociente de factoriales es integral

Question

Si $n$ es un número entero $\gt 0$ , demuestre que

$$\frac{(30n)!n!}{(15n)!(10n)!(6n)!}$$

también es un número entero. Entiendo que una aproximación general es probar que la potencia de cualquier factor primo es mayor en el numerador que en el denominador, pero no he podido formular esto en una prueba rigurosa.

Answer 1

Esta es una respuesta de fuerza bruta.

Demostraremos que para cualquier entero positivo $D$ :

$$0\leq\left\lfloor\frac{30n}{D}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{D}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{15n}{D}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{10n}{D}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{6n}{D}\right\rfloor$$

Esto es suficiente para demostrar su teorema porque cuando $D=p^k$ es una potencia prima, es el número total de múltiplos de $p^k$ en el numerador menos el número total de múltiplos de $p^k$ en el denominador.

Escribe $30n = Dq+r$ para algunos $0\leq r < D$ . Entonces el lado derecho es:

$$q + \left\lfloor\frac{q}{30}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{q}{2}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{q}{3}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{q}{5}\right\rfloor$$

Escribir $q=30p+s$ con $0\leq s<30$ , vemos que esto es:

$$30p +s + p - 15p -\left\lfloor\frac{s}{2}\right\rfloor - 10p - \left\lfloor\frac{s}{3}\right\rfloor - 6p- \left\lfloor\frac{s}{5}\right\rfloor\\=s-\left\lfloor\frac{s}{2}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{s}{3}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{s}{5}\right\rfloor$$

Si esto es no negativo para $s=0,...,29$ ya está hecho. Puedes hacer fuerza bruta a partir de ahí.

Nota

Parece que debería haber alguna prueba directa para:

$$0\leq s-\left\lfloor\frac{s}{2}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{s}{3}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{s}{5}\right\rfloor$$

para $s=0,\dots,29$ . Sin embargo, no es cierto para $s=30$ .

Answer 2

Aquí hay un breve vídeo que muestra, entre otras cosas, cómo calcular el potencia más alta de un número primo que dividirá un factorial dado . Tal vez podría utilizar el método del vídeo para calcular las potencias máximas de los factores primos comunes (2,3,5,7, etc.) en el numerador y el denominador, por ejemplo, utilizando $n=1$ como caso base. A continuación, utilice un paso inductivo para $n+1$ desarrollar una prueba para demostrar que todos los factores primos hasta el factor primo más alto del denominador (que no superará $kn$ en $kn!$ ) son también factores primos en el numerador y que las potencias de estos factores primos comunes son siempre mayores en el numerador en su problema. En consecuencia, la fracción siempre será un número entero.