$(n^1+n)/2$ secuencia

Question

Esto va a ser difícil de explicar, así que voy a poner un ejemplo

Digamos que tenemos una secuencia aritmética estándar que sube de 1 en 1

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

El último número (en este caso, el 10) es n

Escenario z:

Elige 2 números de la secuencia y multiplícalos. El producto debe ser igual al resto de los números sumados. Por ejemplo, 6 y 7 (llamemos 6 y 7 x y y por ahora) están entre 1 y 10 y si se multiplican entre sí, obtenemos 42. Suma 1+2+3+4+5+8+9+10 (no cuentes los números que se multiplicaron juntos) y también obtenemos 42.

n sólo puede ser un número entero, no hay decimales involucrados aquí.

x y y tiene que ser un número entero entre 0 y y n y x no puede ser igual a y

La pregunta es si existe una forma matemática de calcular los diferentes números que pueden representar n que satisfaga el escenario z? Y si n satisface el escenario dado, ¿hay alguna manera de averiguar x y y sin tener que probar todas las combinaciones posibles?

$n^2+1$ Los números parecen funcionar siempre (10, 17, 26, 37, etc.), y no tengo ni idea de por qué.

Sé que lo he explicado bastante mal, no dudes en preguntar cualquier duda al respecto.

Answer 1

Elija cualquier número $n$ , calcule $m = \frac{n(n+1)}{2}+1$ . Habrá una solución si, y sólo si, es capaz de factorizar $m$ como $u\times v$ con $2\le u<v \le n+1$ , entonces los números $x$ y $y$ que está buscando son $u-1$ y $v-1$ .

El caso de $n = k^2+1$ con $k\ge 3$ es siempre soluble ya que en ese caso $m = \frac{n(n+1)}{2}+1 = \frac{(k^2+1)(k^2+2)}{2}+1 = (\frac{k(k+1)}{2}+1)(k^2-k+2)$ para que pueda tomar $x = \frac{k(k+1)}{2}$ y $y = k^2-k+1$

Answer 2

$\left(n^2 + n + 2\right) \times \left(n^2 - n + 1\right) = n^4 + 2n^2 - n + 2.$

Por lo tanto,

$$\left[\frac{n^4 + 3n^2 + 2}{2} - \frac{n^2 + n}{2}\right] \div \frac{n^2 + n + 2}{2} = (n^2 - n + 1).$$

$$S = \sum_{i=1}^{n^2 + 1} i = \frac{(n^2 + 1)(n^2 + 2)}{2} = \frac{n^4 + 3n^2 + 2}{2}.$$

Así, para un valor determinado de $n$ , usted toma $~\displaystyle y = \sum_{i=1}^n i = \frac{n^2 + n}{2}.$

Entonces,

$$\frac{S - y}{y+1} = \frac{n^4 + 2n^2 - n + 2}{n^2 + n + 2} = n^2 - n + 1.$$

Tomando $n^2 - n + 1 = z$ tienes que

$\displaystyle \frac{S - y}{y+1} = z \implies S - y = yz + z \implies S = y + z + yz.$

Tenga en cuenta que ambos $~\displaystyle y = \frac{n^2 + n}{2}$ y $z = (n^2 - n + 1)$

serán elementos en $\{1,2,\cdots, (n^2 + 1)\}.$