Demostrar que $G = \{a+b\sqrt{2}\}$ es un grupo abeliano

Question

Dejemos que $G = \{a+b\sqrt2 \mid a, b \in \mathbb{Q}\}$ , demuestre que $(G,+)$ es un grupo abeliano.

Sé que sólo tengo que demostrar que la definición de grupo abeliano es válida para este conjunto, pero ahora me pregunto qué puedo utilizar para demostrarlo. Es decir, podríamos argumentar que todos los números de la forma $a+b\sqrt2$ son números reales y, por ejemplo, la conmutatividad se seguiría directamente, pero vi una prueba en un libro utilizando el hecho de que

$$(a+b\sqrt2) + (c+d\sqrt2) = (a + c) + (b + d)\sqrt2.$$

Pero en esa etapa del libro, la ley distributiva aún no se ha introducido, así que ¿por qué se nos permite utilizarla?

Answer 1

Una pista: Si la adición en $G$ se define por $(a+b\sqrt2) + (c+d\sqrt2) = (a + c) + (b + d)\sqrt2$ , entonces coincide con la adición en $\mathbb R \supseteq G$ y no queda mucho por demostrar.