las ecuaciones diferenciales viajan por el centro de la tierra

Question

Mis amigos y yo estábamos trabajando en un proyecto pero no podemos obtener la misma respuesta.

Supongamos que un objeto se deja caer en el túnel desde un lado de la tierra y cae directamente al otro lado. Establece una ecuación diferencial para calcular la posición del objeto (respecto al centro de la tierra). Suponga que no hay propulsión ni fricción y que la única fuerza es la gravedad.

al no permanecer en la superficie la gravedad no será constante, la distancia entre tú y el centro irá cambiando. Además como estarás dentro del planeta sólo te afectará la gravedad de la parte del planeta "debajo" de ti, por lo que si estás a mitad de camino del centro la masa que tirará de ti será la de un planeta de la misma densidad que la tierra pero con la mitad del radio (por lo que un octavo de la masa.) Sé que acabaré con una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea.

Answer 1

Encuentra la respuesta aquí (a partir de la página 297 - ver también los ejercicios).

El movimiento es un armónico simple con el período no dependiendo de la posición del túnel (que no tiene por qué pasar por el centro de la Tierra). Todo esto ocurre porque, como dice Cameron Williams, la fuerza efectiva es proporcional a la distancia $x$ del objeto desde el centro del túnel: así que la gravedad funciona dentro de la Tierra (suponiendo una densidad uniforme).

La ecuación diferencial es del tipo $$\ddot x+k\,x=0\quad(k>0)$$

Answer 2

Se trata de un problema de física clásica que tiene una solución muy clara. Usando la Ley de Gravitación de Newton se tiene que a cierta distancia $ x $ la fuerza debida a la gravedad es: $$ F(x) = -\frac{GMm}{x^2} $$ fijando ésta como igual a la aceleración experimentada por el objeto de masa $m$ que tienes: $$ mg(x) = -\frac{GM(x)m}{x^2} $$ $$ g(x) = -\frac{GM(x)}{x^2}$$ Se puede pensar que la Tierra tiene una densidad constante por lo que tenemos que la masa limitada por un radio $x$ $$ M(x) = \rho V(x) = \rho \frac{\frac{4\pi x^3}{3}}{\frac{4\pi R^3}{3}} = \rho \frac{x^3}{R^3} $$ Donde $ R $ es el radio de la Tierra. Introduciendo esto en la ecuación de la gravedad se tiene: $$ g(x) = -\frac{\rho G}{R^3}x $$ $$ \ddot{x}(t) = -\frac{\rho G}{R^3}x(t) = -kx(t) $$ Esta es una ecuación clásica de movimiento periódico que tiene la solución: $$ x(t) = A\cos(\omega t + \phi) $$ Donde $ \omega = \sqrt{\frac{\rho G}{R^3}} $ . Establecer dos condiciones $ x(0) = R $ y $ \dot{x}(0) = 0 $ tienes la solución final: $$ x(t) = R\cos\omega t $$