Motivación de la categoría de complejos de cadenas

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo. Durante un tiempo he estado tratando de motivar a mí mismo más plenamente la definición de y varias estructuras en la categoría $\text{Ch}(R)$ de complejos de cadenas de $R$ -(y sus diversas subcategorías). Una motivación importante es la Correspondencia Dold-Kan al menos cuando $R = \mathbb{Z}$ que nos dice que estudiar los complejos de cadenas conectivas es como estudiar la teoría de la homotopía linealizada (o la teoría de la categoría superior linealizada). Esta es una gran idea, pero no tengo mucha intuición para lo que sucede en la prueba de Dold-Kan, y no veo cómo se podría haber predicho de antemano que algo como Dold-Kan podría ser cierto simplemente mirando todas las definiciones de la manera correcta. Me gusta la idea de la homotopía linealizada, pero no sé cuál es el camino conceptual desde la homotopía linealizada hasta, por ejemplo, el trenzado $a \otimes b \mapsto (-1)^{|a| |b|} b \otimes a$ .

Considera también el diferencial. Se me ocurren varias formas de motivar $d^2 = 0$ y no sé muy bien cómo encajan. Por ejemplo, se puede hablar de los límites de las variedades con límite, de la derivada exterior y del teorema de Stokes. Si se parte de la perspectiva simplicial / de categoría superior, la diferencial codifica algo así como el origen / destino generalizado de un morfismo superior, y de alguna manera el hecho de que este origen / destino generalizado debería satisfacer una "ley de pegado" natural (por ejemplo si $a \to b$ es un $1$ -morfismo entonces $d(a \to b + b \to c)$ debe ser igual a $d(a \to c)$ ) es equivalente a que se eleve al cuadrado a cero. Puedo imaginarme cómo funciona esto en dimensiones bajas, pero no entiendo del todo cuál es la relación exacta entre estas dos ideas.

Teniendo en cuenta la estructura simétrica monoidal, el diferencial se comporta como un elemento de un súper álgebra de Lie, concentrado en grado $-1$ actuando sobre una representación (véase, por ejemplo, la respuesta MO de Theo Johnson-Freyd aquí ). La acción de una superálgebra de Lie debería estar relacionada con la simetría infinitesimal que proviene de un supergrupo de Lie, pero no tengo una idea clara de qué es este supergrupo de Lie o qué tiene que ver con la teoría de la homotopía. Parece que tiene algo que ver con la definición supergeométrica de las formas diferenciales, pero realmente no sé nada de esto.

Algebraicamente, la relación $d^2 = 0$ parece provenir de al menos dos ideas diferentes: la aproximación de primer orden, y las cosas Impares anticompartidas consigo mismas. Ambas ideas parecen relevantes para lo que me confunde, pero no puedo unirlas en una historia coherente.

Entonces, ¿cuál es esa historia cohesionada?

Editar: Si la mayor parte de la pregunta te parece una tontería, no dudes en centrarte en la última parte sobre las súper álgebras de Lie. Recuerdo haber oído que esto tiene algo que ver con la acción del grupo de automorfismo de la recta real de impar; agradecería que alguien me lo aclarara.

Answer 1

El origen de $d^2 = 0$ es seguramente la geometría: pensemos en una bola sólida; su límite es una esfera, pero la esfera no tiene límite. En términos más generales, "todo límite es un ciclo". La primera formulación de la teoría de los complejos simpliciales utilizaba orientaciones para obtener "un límite es un ciclo", pero esto tenía problemas para la teoría singular. Entonces Eilenberg introdujo la teoría ordenada, que condujo a los conjuntos simpliciales, y más generalmente a los objetos simpliciales.

Puede ser útil ver por qué la correspondencia Dold-Kan es verdadera si se observan las generalizaciones y las variaciones. Véase la sección 7 de mi artículo de estudio "Groupoides y objetos cruzados en topología algebraica", Homología, homotopía y aplicaciones , 1 (1999) 1-78.

Answer 2

Me temo que no tengo una narración cohesionada, pero sí un fragmento potencialmente informativo.

Si se aplica una versión adecuada de la reconstrucción de Tannaka-Krein al functor tensorial fiel $\text{Ch}(R) \to \text{super-}R\text{-mod}$ que olvida la gradación de enteros y los diferenciales, se encuentra que la categoría de complejos de cadenas de módulos sobre un anillo (super)conmutativo $R$ es equivalente a la categoría de representaciones del supergrupo de automorfismos del punto gordo de impar (también conocida como la categoría de códulos de la superálgebra de Hopf de funciones sobre el supergrupo de automorfismos). Como grupo explícito, se puede escribir como $T \rtimes \mathbb{G}_m$ , donde $T$ es el grupo impar de las traslaciones. El subgrupo $\mathbb{G}_m$ da una graduación en el complejo de la cadena, y añadiendo el $T$ proporciona un diferencial cero cuadrado.

El punto de grasa impar sobre $R$ es el espectro de $R[\eta]/(\eta^2)$ , donde $\eta$ es impar, y los mapas de este objeto a un superesquema describen un haz tangente con desplazamiento de paridad, por lo que tiene algo que ver con la aproximación de primer orden. El punto gordo de impar es equivalente a la línea de impar (el espectro de $R[\eta]$ ) si y sólo si $2 \neq 0$ en $R$ Así que si no te interesan los complejos de cadena con coeficientes característicos 2, puedes aproximar la respuesta correcta con una respuesta conceptualmente más sencilla. El grupo $T$ es isomorfo como superesquema al punto gordo de impar, pero su anillo de coordenadas está dotado de un coproducto dado por $\eta \mapsto 1 \otimes \eta + \eta \otimes 1$ . Su espacio tangente es el álgebra de Lie impar unidimensional. La estructura de grupo en $T$ induce una acción de traslación en el punto gordo de impar, convirtiéndolo en un $T$ -torsor. El grupo $\mathbb{G}_m$ es el espectro de $R[x,y]/(xy-1) = R[x,x^{-1}]$ con coproducto $x \mapsto x \otimes x$ y la estructura comodín en $R[\eta]$ es por la acción de dilatación de grado 1, es decir, por $\eta \mapsto x \otimes \eta$ . El grupo de automorfismo completo es entonces el espectro de $R[x,y,\eta]/(xy-1, \eta^2)$ con un coproducto determinado por $x \mapsto x \otimes x$ y $\eta \mapsto x \otimes \eta + \eta \otimes 1$ .

Aquí está la co-acción explícita sobre los objetos: para cada complejo de la cadena $V^\bullet$ un vector puro $v$ de grado $n$ se lleva a $x^n \otimes v + x^{n-1}\eta \otimes dv$ . Si no estás acostumbrado a las coacciones, puedes pensar en el $x^n$ como una forma de codificar el grado $n$ naturaleza de $v$ y el $\eta$ parte describe una transformación de cizallamiento infinitesimal por $d$ . Más precisamente, dado un comodoro de longitud finita arbitraria $V$ con co-acción $v \mapsto \sum p_{(1)}(x,\eta) \otimes v_{(2)}$ se pueden aislar las piezas graduadas como las partes emparejadas con potencias de $x$ y reconstruir el mapa $d$ de las partes con $\eta$ . La propiedad del cero cuadrado de $\eta$ es necesario que todas las representaciones tengan $d^2 = 0$ y la paridad impar en $\eta$ es necesario tanto para que los productos tensoriales de los complejos tengan los signos correctos como para que el punto gordo admita una estructura de grupo bien definida cuando $2 \neq 0$ .

Answer 3

El límite de una frontera está vacío. Esto es cierto en cualquier contexto matemático. La traducción algebraica de este enunciado geométrico es un complejo de cadena $d^2=0$ . Esta observación ha dado lugar a grandes logros en todas las áreas de las matemáticas. Es imposible resumirlos aquí. Sólo hay que pedir aplicaciones en áreas específicas si se desea.