Has planteado una serie de buenas preguntas, una de las cuales es entender mejor los aspectos graduales-geométricos de tener una operación de frontera. Intentaré abordar esta parte de tu pregunta, pero empezaré con una disculpa: la tuya es en gran medida una pregunta de "por qué", mientras que yo sólo daré una respuesta de "qué", motivada sólo después de que hayas decidido que los complejos de cadena, etc., son útiles. Además, mi respuesta será un poco larga y farragosa, y probablemente suscitará más preguntas que respuestas.
Notación: clasificado siempre significa $\mathbb Z$ -gradado, con los signos de Koszul (que ahora mismo no tengo una buena forma de motivar). Con el tiempo dejaré de decir siquiera "graduado": si digo "espacio vectorial" o "álgebra conmutativa" o lo que sea, probablemente quiero decir "en la categoría de los graduados...". Además, "espacio vectorial" casi siempre significa "grupo abeliano" o " $R$ -módulo" para su anillo conmutativo favorito $R$ o ...
En primer lugar, no sé cuáles son tus convenciones favoritas: ¿prefieres que un complejo de cadenas tenga $\partial$ ¿Grado creciente o decreciente? Bueno, no importa. Dejemos que $\mathfrak Q$ denotan la línea ( $\otimes$ -objeto invertible) en grado $\pm 1$ de modo que una estructura compleja en cadena sobre un espacio vectorial graduado $V$ incluye un mapa de espacios vectoriales graduados $\mathfrak Q \to \operatorname{End}(V)$ . (Utilizo la Q porque es la primera letra de la palabra "homología"). $\mathfrak Q$ tiene una estructura de grupo abeliano, dada por $+$ y su álgebra de Lie es el espacio vectorial $\mathfrak Q$ con el soporte trivial. Ya hemos visto que un complejo de cadena es lo mismo que una representación del álgebra de Lie $\mathfrak Q$ . Como esta álgebra de Lie actúa de forma nilpotente sobre todas las representaciones, cualquier acción de este tipo se integra en una acción del grupo $\mathfrak Q$ . Así que se pueden describir de forma equivalente los complejos de cadena como las representaciones de un grupo.
Permítanme describir un poco más a este grupo. En primer lugar, es un grupo donde n en el que se puede hablar de " $+$ es una estructura de grupo sobre el conjunto de puntos en $\mathfrak Q$ ", pero eso es una tontería. En su lugar, dejemos que $R$ sea cualquier anillo conmutativo (graduado). Entonces existe una preforma sobre esquemas afines que asigna a $R$ el conjunto de elementos de $R$ que son homogéneos para el $\mathbb Z$ -Calificación con calificación $\mp 1$ es decir, es el conjunto de mapas de espacios vectoriales graduados $\mathfrak Q^{\otimes -1} \to R$ , donde $\mathfrak Q^{\otimes -1}$ es el espacio vectorial que es $\otimes$ -inverso a $\mathfrak Q$ . Este presheaf es de hecho un esquema afín, porque tenemos un functor "libre" $\operatorname{Sym}$ de los espacios vectoriales a los anillos conmutativos: su representación por el anillo conmutativo formado por polinomios en una variable $\mathfrak q$ , donde $\mathfrak q$ tiene la graduación de un elemento base de $\mathfrak Q^{-1}$ . Sólo para confundir la notación, escribiré $\mathfrak Q$ tanto para el espacio vectorial invertible anterior, como para $\mathfrak Q = \operatorname{Spec}(\mathbb Z[\mathfrak q])$ . Tenga en cuenta que quiero imponer que $\mathfrak q^2 = 0$ que se deduce de la graduación de $\mathfrak q$ si $2$ es invertible en $\mathbb Z$ . (Así que realmente sería más feliz eligiendo un campo de características $0$ y sustituyendo $\mathbb Z$ con ese campo). De todos modos, el esquema afín $\mathfrak Q$ es de hecho un grupo algebraico afín. Como esquema de grupo, es el esquema que asigna a un anillo conmutativo $R$ no sólo el conjunto de la clasificación- $(\mp 1)$ elementos, sino el grupo abeliano de los mismos (con $+$ ); como álgebra de Hopf, la estructura de grupo está codificada por la comulgación $\mathfrak q \mapsto 1\otimes \mathfrak q + \mathfrak q \otimes 1$ .
¿Podemos reconocer a este grupo $\mathfrak Q$ ¿como resultado de la topología? No. De hecho, para cualquier espacio topológico $X$ su cohomología se apoya totalmente en el lado de la graduación $0$ que el espacio vectorial $\mathfrak Q$ está encendido, mientras que la coordenada $\mathfrak q$ entonces tiene la graduación opuesta. En particular, el esquema $\mathfrak Q$ es indistinguible del esquema trivial cuando se compara con los anillos de cohomología de los espacios.
Sin embargo, es tentador tratar de describir $\mathfrak Q$ en lenguaje topológico. La tentación viene, en parte, de una famosa teoría de Quillen y Sullivan, que dice que los espacios topológicos (no demasiado grandes), si sólo se pueden ver "racionalmente", son lo mismo que los esquemas afines sobre $\mathbb Q$ . Así que en adelante trabajaré sobre los números racionales, y desearé no haber elegido la letra Q arriba. Bueno, para eso están las fuentes. (Hay muchas condiciones necesarias para que la equivalencia sea precisa, y la mayoría de mis ejemplos no satisfarán esas condiciones, pero c'est la vie).
Dejemos que $G$ sea un grupo. Entonces tiene un espacio de clasificación $\mathrm B G$ con la propiedad de que $\pi_n(\mathrm B G) = \pi_{n-1} G$ y con un punto distinguido $\ast \to \mathrm B G$ . En general, $\mathrm B G$ no tiene ninguna estructura de grupo (la estructura de grupo en $G$ se ha "agotado" para crear el espacio clasificatorio). Si en lugar de decir "grupo" hubiera dicho "grupo homotópico-asociativo", que es la noción correcta de "grupo" en Espacios $E_n$ grupos", y observar que si $G$ tiene una homotopía- $E_n$ estructura del grupo, entonces $\mathrm B G$ tiene una homotopía- $E_{n-1}$ estructura. (En particular, una (homotopía) $E_0$ -estructura en un espacio $X$ es lo mismo que un mapa distinguido $\ast\to X$ .) En lugar de describir esta teoría, permítanme simplemente observar que si $G$ es un conmutativo grupo, entonces $\mathrm B G$ también tiene una estructura de grupo conmutativo.
Trabajemos racionalmente, y dejemos que $\mathbb G_a$ denotan el grupo aditivo del campo terreno $\mathfrak k$ . Entonces hay una secuencia de grupos abelianos $\mathrm B^n \mathbb G_a$ con $\pi_m \mathrm B^n \mathbb G_a =\mathbb G_a$ cuando $m=n$ y $=0$ de lo contrario. Usted ya conoce algunos de estos grupos. En particular, el círculo $S^1$ es (¡integralmente!) una $\mathrm K(\mathbb Z,1)$ y así racionalmente $S^1 = \mathrm K(\mathbb G_a,1)$ , ya que $\mathbb G_a = \mathbb G_a \otimes \mathbb Z$ Así que $S^1 = \mathrm B \mathbb G_a$ . En general, si la memoria no me falla, $\mathrm B^n\mathbb G_a$ es el $n$ -esfera, ya que estoy trabajando racionalmente. (Sí, el $n$ -esfera es un grupo).
De todos modos, nuestro grupo $\mathfrak Q$ tiene homotopía sólo en la graduación $-1$ : es un "racional". $-1$ -esfera". A esto me refería cuando decía que no puede surgir de la topología: tiene grupos de homotopía en puntos negativos. (Así que si fuera inteligente, habría insistido en la graduación homológica, por lo que las diferenciales bajan, y $\mathfrak Q$ es la línea apoyada en la graduación $-1$ y la coordenada $\mathfrak q$ tiene la clasificación $+1$ entonces todas las convenciones serían coherentes). Queremos escribir $\mathfrak Q = \mathrm B^{-1}\mathbb G_a$ . Pues bien, ¿qué functor es inverso a $\mathrm B$ ? Es el functor de los bucles basados en la toma: $\mathfrak Q = \Omega \mathbb G_a$ .
De hecho, al trabajar con esquemas graduados (o dg) sobre $\mathbb k\supseteq Q$ , puedes realizar esta ecuación. Sea $\ast \to X$ sea un espacio punteado. El espacio de bucle basado en de $X$ es el pullback de homotopía:
$$ \begin{matrix} \Omega X & \to & \to & \ast \\ \downarrow & \ulcorner & & \downarrow \\ \downarrow & & & \downarrow \\ \ast & \to & \to & X \end{matrix}$$
Es decir, "la intersección del punto consigo mismo".
Trabajando en cambio con esquemas afines, sustituimos el espacio $X$ con su anillo de funciones $\mathcal O(X)$ y el punto $\ast$ con $\mathbb k = \mathcal O(\ast)$ y luego el mapa $\ast \to X$ es un aumento de $\mathcal O(X)$ . Recordemos que el pushout de los anillos conmutativos es el producto tensorial; el pushout de homotopía es el derivado producto tensorial, y así tenemos:
$$ \Omega X = \operatorname{Spec}( \mathbb k \otimes_{\mathcal O(X)} \mathbb k) $$
donde $\otimes$ significa que el derivado producto tensorial.
En nuestro caso, $X = \mathbb G_a$ y $\mathcal O(X) = \mathbb k[x]$ , donde $x$ es un grado- $0$ función de coordenadas. Entonces puedes comprobar que, efectivamente, el producto tensorial derivado está representado por el anillo $\mathbb k[\mathfrak q]$ . Así que en cierto sentido algebraico tenemos $\mathfrak Q = \mathrm B^{-1}\mathbb G_a$ .
A la inversa, lo que digo es que $\mathbb G_a = \mathrm B \mathfrak Q$ . Usted había pedido originalmente una comprensión más profunda de los complejos de cadena, y estuvimos de acuerdo en que (al menos racionalmente) los complejos de cadena eran $\mathfrak Q$ -representaciones. Pero éstas son las mismas que las gavillas de haces vectoriales sobre $\mathrm B \mathfrak Q$ que ahora reconocemos (si estamos dispuestos a limitarnos sólo al trabajo sobre $\mathbb k \subseteq \mathbb Q$ ) como (el espacio subyacente de) el grupo $\mathbb G_a$ Es decir la línea afín .
Por otra parte, no sé qué pensar de esto, en parte porque todo lo que he dicho en los últimos párrafos es técnicamente falso: La teoría de la homotopía racional de Quillen y Sullivan sólo empieza a funcionar realmente cuando se restringe a anillos y espacios que sólo tienen homotopía a partir del grado $2$ .
Aquí hay algunas cosas más en las que pensar. De la imagen de "los complejos de cadena son representaciones de algún grupo particular $\mathfrak Q$ ", tiene sentido que se preocupe por los "complejos de cadenas hasta la homotopía": es como si decidiera preocuparse sólo por el cociente de cualquier $\mathfrak Q$ -representación por el $\mathfrak Q$ -acción (pero como estamos en el siglo XXI, hay buenas formas de tomar este cociente).
Me sigue sorprendiendo que este grupo sea suficiente para hacer todo tipo de otras partes de la geometría derivada. Por ejemplo, dejemos que $\mathfrak g$ sea un álgebra de Lie sobre $\mathbb k \subseteq \mathbb Q$ y utilizar la misma notación para el grupo formal con el álgebra de Lie $\mathfrak g$ (una manera de definir este grupo formal es tomar el álgebra universal envolvente de $\mathfrak g$ que es indeterminado si $\mathfrak g$ es finito-dimensional, y tomar su "dual filtrado" y así construir un anillo conmutativo profinito; Spec de este anillo es una cosa que podría significar por "el grupo formal"). Entonces hay un espacio $\mathrm B \mathfrak g$ cuyas gavillas son todas $\mathfrak g$ -módulos. Este espacio puede describirse de forma equivalente desplazando $\mathfrak g$ un grado en la graduación homológica, y luego darle una acción interesante por $\mathfrak Q$ ; $\mathrm B \mathfrak g$ es el "cociente" de esta acción. Desde esta perspectiva, el functor que convierte un $\mathfrak g$ -representación $V$ en una gavilla sobre $\mathrm B\mathfrak g$ y luego toma el espacio total de esta gavilla; ese functor sólo es tomando el cociente de la representación por el $\mathfrak g$ -acción. Pero el espacio total es sólo $V \times \mathrm B \mathfrak g$ y el $\mathfrak g$ -acción sobre $V$ está codificado por un $\mathfrak Q$ -acción sobre $V \times \mathrm B \mathfrak g$ cubriendo el $\mathfrak Q$ -acción sobre $\mathrm B \mathfrak g$ . Así, todos los apilamientos de la forma "acción de álgebra de Lie" pueden codificarse como "espacio (graduado) mod. $\mathfrak Q$ -acción". (Nota: no se pueden codificar grupos discretos de esta manera. El sitio web $\mathfrak Q$ -acción sólo ve la parte infinitesimal de la $\mathfrak g$ -pero como estoy usando el grupo formal, y no, digamos, el grupo de Lie simplemente conectado, hay realmente es sólo una acción infinitesimal).
