Pregunta sobre los mapas propios complejos del disco unitario

Question

Esta es una pregunta de un antiguo examen en la que estoy atascado.

Pregunta: Considere $f$ que es analítica en un dominio que contiene el cierre del disco $D=\{|z|<1\}$ y tal que $f(D)\subset D$ y $f(\partial D)\subset\partial D$ . Supongamos que existe un $w_0\in D$ que sólo tiene una preimagen en $D$ (es decir $\{z_0\}=f^{-1}(w_0)\cap D)$ . Demuestre que si $f'(z_0)\neq0$ entonces $f$ es de la forma $$f(z)=e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar{a}z}$$ para algunos $a\in D$ y $\theta\in\mathbb{R}$ . Dé un contraejemplo con $f'(z_0)=0$ .

Ideas: El ejemplo del contador era fácil, sólo hay que tomar $f(z)=z^2$ . Intenté el resto utilizando el lema de Schwarz y o el de Pick pero no lo conseguí. Otra idea era utilizar el principio de argumentación para demostrar que el número de preimágenes es constante como $w$ varía sobre $D$ . Lo que forzaría la forma de automorfismo. Para $w_0$ tenemos $$\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f'(z)}{f(z)-w_0}\,\text{d}z=1.$$ ¿Cómo se sostiene esto para cualquier $w\in D$ ?

Answer 1

Creo que he encontrado una solución, pero parece un poco larga y complicada. Dime lo que piensas de ella.

Para $a \in D$ definimos en $\mathbb{C}\setminus\left\lbrace\dfrac{1}{\bar{a}}\right\rbrace$ la función $\phi_a : z \mapsto \dfrac{z-a}{1-\bar{a}z}$ . Es bien sabido que :

• $\phi_a$ es un automorfismo de $D$
• $\phi_a(\partial D)=\partial D$
• $\phi_a^{-1}=\phi_{-a}$

Entonces, consideremos $g=\phi_{w_0}\circ f \circ \phi_{z_0}^{-1}=\phi_{w_0}\circ f \circ \phi_{-z_0}$ . Está claro que $g(D)=D$ y $g(\partial D)=\partial D$ .

Tenemos $g(0)=\phi_{w_0}\circ f \circ \phi_{-z_0}(0)=\phi_{w_0} \circ f (z_0) = \phi_{w_0} (w_0)=0$ .

Así, podemos aplicar el lema de Schwarz a $g$ . Tenemos $|g(z)|\leq |z|$ para todos $z\in D$ y $g'(0)\leq 1$ .

Además, si $g'(0)=1$ o si existe $z\in D^*$ tal que $|g(z)|=|z|$ entonces $g=R_\theta$ para un determinado $\theta\in\mathbb{R}$ , donde $R_\theta:z\mapsto e^{i\theta}z$ . Entonces, tendríamos $f=\phi_{-w_0} \circ R_\theta \circ \phi_{z_0}$ lo que pondría fin a la demostración (desarrollando esta expresión, encontramos que $f$ sería de la forma deseada para algunos $a$ función de $z_0,w_0$ y $\theta$ ).

Procederemos entonces por contradicción: supongamos que $g'(0)<1$ y $|g(z)|<|z|$ por cada $z\in D^*$ .

Definimos $h(z)=\dfrac{g(z)}{z}$ para $z\in \bar{D}^*$ y $h(0)=g'(0)$ . Entonces:

• $h$ es holomorfo en $D$ , continua en $\bar{D}$
• $h(D)=D$ (porque $g(z)<z$ para $z \in D^*$ y $g'(0)<1$ )
• $h(\partial D)=\partial D$

$|h|$ es continua en el compacto $\bar{D}$ por lo que posee un mínimo. Está claro que este mínimo está en $D$ . Así que por el principio del módulo máximo, $h$ debe cancelar en $D$ .

Todavía, $h(0)=g'(0)\neq 0$ porque $f'(0)\neq 0$ (la composición de la derivación da $g'(0)$ directamente proporcional a $f'(0)$ ). Por lo tanto, existe $v \in D^*$ tal que $h(v)=0$ y luego $g(v)=0$ , o de nuevo $f(\phi_{-z_0}(v))=w_0$ . Esto se contradice con el hecho de que $f^{-1}(w_0)=\lbrace z_0 \rbrace$ que termina la manifestación.

Answer 2

Por el caso especial del teorema del residuo conocido como el principio de argumentación , si $h$ es meromorfo en $\overline{V}$ , donde $V\subset \mathbb{C}$ es un conjunto abierto acotado con una frontera suficientemente regular y $h$ no tiene ni ceros ni polos en $\partial V$ ,

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial V} \frac{h'(z)}{h(z)}\,dz$$

es el número de ceros de $h$ en $V$ menos el número de polos de $h$ en $V$ , ambos contados con multiplicidades. En particular, el valor de esa integral es siempre un número entero.

Tomando $h(z) = f(z) - w$ para $w\in D$ se cumplen las premisas, ya que $f(\partial D) \subset \partial D$ , $f(z) - w$ no tiene cero en $\partial D$ y $f(z)-w$ no tiene polos ya que $f$ es holomorfo. Por lo tanto,

$$N(w) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f'(z)}{f(z)-w}\,dz$$

es el número de veces que $f$ alcanza el valor $w$ en $D$ contando las multiplicidades. Como el integrando depende continuamente de $w\in D$ y también lo hace la integral. Así, $N \colon D \to \mathbb{Z}$ es continua, por tanto, constante. Por supuesto, hay un $w_0\in D$ con $N(w_0) = 1$ y por constancia se deduce que $N(w) \equiv 1$ en $D$ . Esto significa que $f$ alcanza cada $w\in D$ exactamente una vez (contando las multiplicidades), y como por suposición $f(D)\subset D$ , lo que significa que $f$ es una biyección $D\to D$ es decir, un automorfismo de $D$ . Los automorfismos de $D$ son precisamente los mapas de la forma

$$z \mapsto e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\overline{a}z}$$

con $a\in D$ y $\theta\in \mathbb{R}$ .