Minimizar la varianza de $aX + bY + cZ$ para las variables independientes $X,Y,Z$

Question

Hay tres variables aleatorias independientes $X, Y, Z$ .

El objetivo es minimizar la varianza de $aX + bY + cZ$ donde $a+b+c = 1$ y $0\le a,b,c \le1$ .

$$\operatorname{var}(X) = 2\operatorname{var}(Y) = 3\operatorname{var}(Z)$$

Lo hice $$K = aX + bY + cZ\quad,\quad \operatorname{var}(K) = a^2\operatorname{var}(X) + b^2\operatorname{var}(Y) + c^2\operatorname{var}(Z)\,,$$ pero parece que se necesita una ecuación más para resolver el problema.

¿Hay algo que me haya perdido?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $Var(X) = 6, Var(Y) = 3, Var(Z) = 2$ .

El problema se puede reescribir a esta forma sin antecedentes de teoría de la probabilidad, es decir, para minimizar $f(a, b, c) = 6a^2 + 3b^2 + 2c^2$ , sujeta a las restricciones $a,b,c \in [0, 1], a + b + c = 1$

En primer lugar, hay que tener en cuenta que podemos eliminar la restricción $a,b,c \in [0, 1]$ y aún así obtener la respuesta correcta. Para ver esto, supongamos que uno de $a, b, c$ obtiene un valor negativo, demostraremos que esto no conducirá a un mínimo de $6a^2 + 3b^2 + 2c^2$ . Si $a < 0, b > 0$ dejamos que $a' = a + \varepsilon, b' = b - \varepsilon (\varepsilon > 0 \text{ a small positive amount})$ , entonces disminuiremos $a^2$ mientras que al mismo tiempo disminuye $b^2$ . Así, $6a^2 + 3b^2 + 2c^2$ no es un mínimo.

Entonces la restricción restante es $a + b + c = 1$ que es lo mismo que dejar $g(a, b, c) = 0$ , donde $g(a, b, c) = a + b + c - 1$ . Esta forma de problema se puede resolver fácilmente utilizando el multiplicador de Lagrangre. $F(a, b, c, \lambda) = f(a, b, c) + \lambda g(a, b, c)$ . Resolver $\frac{\partial F}{\partial a} = \frac{\partial F}{\partial b} = \frac{\partial F}{\partial c} = \frac{\partial F}{\partial \lambda} = 0$ Llegamos a: $a = \frac 1 6, b = \frac 1 3, c = \frac 1 2$ y el valor mínimo es en realidad $1$ .

Por favor, perdone mi pobre inglés:)

Answer 2

Para minimizar $6a^{2}+3b^{2}+2c^{2}$ con sujeción a $a,b,c \geq 0$ y $a+b+c=1$ nota que $1^{2}=(a+b+c)^{2}=(\frac 1 {\sqrt 6}\sqrt 6 a +\frac 1 {\sqrt 3}\sqrt 3 a +\frac 1 {\sqrt 2}\sqrt 2 a)^{2} \leq (\frac 1 6 +\frac 1 3+\frac 1 2) (6a^{2}+3b^{2}+2c^{2})$ por la desigualdad C-S. Por lo tanto, $6a^{2}+3b^{2}+2c^{2} \geq 1$ y la igualdad se mantiene cuando $(a,b,c) =(\frac 1 6, \frac 1 3,\frac 1 2)$ . Por lo tanto, el valor mínimo es $1$ .