Teoremas elementales que requieren AC

Question

Parece que AC se esconde (¿tal vez se oculta?) incluso en algunos resultados elementales. Un ejemplo:

Teorema: Sea $X \subseteq \mathbb R$ y que $x_0 \in \mathbb R$ sea un punto de acumulación de $X$ . Entonces existe una secuencia $ \{ a_n \}_{n=1}^\infty $ S.T. $ \{ a_n \} \subseteq X$ y $a_n\xrightarrow{n \to \infty} x_0 $ .

Prueba: Para $\mathbb N \ni n > 0$ denotamos $A_n := \{ x \in X : |x-x_0| < \frac {1}{n} \}$ ya que $x_0$ es un punto de acumulación de $X$ entonces $ \forall [ 0<n \in \mathbb N ] . A_n \neq \varnothing$ .
Por A.C. existe la función de elección $f:P(X) \setminus \{ \varnothing\} \rightarrow X$ S.T. $\forall [ \varnothing\neq B \subset X] . f(B) \in B$
La secuencia $\{ a_n \}$ definido por $a_n := f(A_n)$ satisface los requisitos.

• ¿Podemos evitar el uso de AC en el teorema anterior?
• ¿Puede señalar algunos teoremas elementales que requieran AC?

Answer 1

Sí, esta prueba utiliza la elección contable. También de forma esencial. Es consistente (sin elección) que hay un conjunto denso si reales sin un subconjunto contablemente infinito. En particular, toda secuencia convergente de ese conjunto debe ser eventualmente constante. Pero la densidad significa que todo lo real está en el cierre .

Otras pruebas que utilizan el axioma de elección son:

1. Todo conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito;
2. un conjunto es finito si y sólo si cada auto-inyección es una biyección;
3. la unión contable de conjuntos contables es contable; y
4. un árbol infinito sin nodos máximos, donde cada nivel es finito, tiene una rama.

Pruebas algo menos elementales podrían ser

5. Todo espacio vectorial tiene una base; y
6. un espacio vectorial es de dimensión infinita si y sólo si su dual [algebraico] tiene una dimensión mayor.

La lista es realmente amplia y puede llenar varios libros.

Answer 2

Un resultado elemental utilizando el axioma de elección dependiente:

Dejemos que $R$ sea un anillo. Entonces la declaración:

"Si $\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \cdots$ es una secuencia de ideales de $R$ , entonces hay $n$ tal que para todo $m>n$ , $\mathfrak{a}_m=\mathfrak{a}_n$ ."

implica la afirmación:

"Todo conjunto no vacío de ideales de $R$ tiene un $\subset$ -elemento máximo".

Más generalmente, la implicación "Un poset $S$ no tiene cadenas infinitas estrictamente descendentes" $\implies$ " $S$ es un orden bien" es equivalente al axioma de elección dependiente.

Por cierto, como mencionó Asaf, el axioma de elección dependiente es un principio de elección que es estrictamente más fuerte que el axioma de elección contable y estrictamente más débil que el axioma de elección.

Answer 3

Como se ha señalado el teorema parece requerir el AC, pero parece que hay una manera de evitar esto (en este caso particular) cambiando la definición a:

$x$ es un punto de acumulación a $X$ si hay una secuencia $x_n\in X$ tal que $lim_{n\to\infty}x_n = x$ .

Entonces, por supuesto, el teorema será trivial de demostrar. Lo contrario (que toda vecindad de $x$ se cruza con $X$ ) es demostrable (ya que la secuencia $x_n$ debe limitarse finalmente a cualquier vecindad de $x$ ).

Supongo que este es el caso de todos los teoremas "elementales" que requieren el AC que pueden ser "resueltos" cambiando una definición a una versión que sea equivalente bajo AC, pero que sólo implique la propiedad definitoria original sin AC. En la mayoría de las aplicaciones "elementales" a la teoría probablemente tendrías una forma explícita de hacer tu elección que se requiere para la definición modificada para que puedas salirte sin AC.