¿Qué podemos decir sobre la media de la población a partir de una muestra de 1?

Question

Me pregunto qué podemos decir, si es que podemos decir algo, sobre la media de la población, $\mu$ cuando todo lo que tengo es una medida, $y_1$ (tamaño de la muestra: 1). Obviamente, nos encantaría tener más medidas, pero no podemos conseguirlas.

Me parece que desde la media de la muestra, $\bar{y}$ es trivialmente igual a $y_1$ entonces $E[\bar{y}]=E[y_1]=\mu$ . Sin embargo, con un tamaño de muestra de 1, la varianza de la muestra no está definida y, por tanto, nuestra confianza en el uso de $\bar{y}$ como un estimador de $\mu$ también es indefinido, ¿correcto? ¿Habría alguna forma de limitar nuestra estimación de $\mu$ ¿en absoluto?

Answer 1

Si se sabe que la población es normal, un intervalo de confianza del 95% basado en una sola observación $x$ viene dada por $$x \pm 9.68 \left| x \right| $$

Esto se discute en el artículo "An Effective Confidence Interval for the Mean With Samples of Size One and Two", por Wall, Boen y Tweedie, El Estadístico Americano , mayo de 2001, Vol. 55, No.2 . ( pdf )

Answer 2

Claro que sí. Utiliza un Bayesiano paradigma. Lo más probable es que tenga al menos algunos idea de lo que $\mu$ por ejemplo, que físicamente no puede ser negativo, o que obviamente no puede ser mayor que 100 (tal vez usted está midiendo la altura de los miembros del equipo de fútbol de su escuela secundaria local en pies). Ponga una prioridad a eso, actualícela con su única observación y tendrá un maravilloso resultado posterior.

Answer 3

Un pequeño ejercicio de simulación para ilustrar si la respuesta de @soakley funciona:

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

De un millón de ensayos aleatorios, el intervalo de confianza incluye la verdadera media un millón de veces, es decir, siempre . Eso no debería ocurrir en caso de que el intervalo de confianza fuera un 95% intervalo de confianza.

La fórmula no parece funcionar... ¿O he cometido un error de codificación?

Editar: el mismo resultado empírico se mantiene cuando se utiliza $(\mu, \sigma)=(1000,1)$ ;
sin embargo, es $0.950097 \approx 0.95$ para $(\mu, \sigma)=(1000,1000)$ -- por lo tanto, bastante cerca del intervalo de confianza del 95%.

Answer 4

He aquí un nuevo artículo sobre esta cuestión para el caso de Poisson, con un bonito enfoque pedagógico:

Andersson. Per Gösta (2015). Un enfoque de clase para la construcción de un intervalo de confianza aproximado de una media de Poisson utilizando una observación. El Estadístico Americano , 69(3), 160-164, DOI: 10.1080/00031305.2015.1056830 .

Answer 5

Véase Edelman, D (1990) "A confidence interval for the center of an unknown unimodal distribution based on a sample size one" (Un intervalo de confianza para el centro de una distribución unimodal desconocida basado en una muestra de tamaño uno) The American Statistician, Vol 44, no 4. El artículo abarca los casos normal y no paramétrico.