Para que quede claro, esas ecuaciones para \$B_y\$ y \$B_z\$ son casi (pero no exactamente) el campo magnético asociado a un segmento finito de cable entre los puntos \$(-a,0,0)\$ y \$(a,0,0)\$ que tiene una longitud total de \$2a\$ con una corriente de \$\vec{I} = (I, 0, 0)\$ en el cable.
Tomando el límite, \begin{align} \lim_{a\rightarrow \infty} B_y &= \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \frac{z}{y^2 + z^2} \lim_{a\rightarrow \infty} \frac{x-a}{r_{1x}}-\frac{x+a}{r_{2x}}\\ &= \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \frac{z}{y^2 + z^2} \lim_{a\rightarrow \infty} \frac{-a}{\sqrt{a^2}}-\frac{a}{\sqrt{a^2}}\\ &= -\frac{\mu_0 I}{2 \pi} \frac{z}{y^2 + z^2} \end{align} Está claro que esto no es 0 en todas partes, pero tiene un \$1/r\$ dependencia (donde \$r\$ es la distancia perpendicular), y tampoco depende de \$x\$ más. Puede repetir el mismo proceso para encontrar \$B_z\$ .
Existe otro enfoque más sencillo para derivar el campo B generado por una línea de corriente infinita que utiliza la Ley de Ampere, las superficies de control y los bucles ( Teorema de Stokes ), y los argumentos de simetría, aunque esa derivación se deja como ejercicio para el lector.
Lo que quiero decir con "casi" es que el \$B_y\$ y \$B_z\$ las ecuaciones que muestra fueron derivadas suponiendo que
$$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} $$
que sólo es cierto si \$\partial_t \vec{E} = 0\$ . Sin embargo, un segmento finito aislado no cerrado esto no puede ser cierto ya que tenemos un cambio en la densidad de carga en ambos extremos del cable (ya que \$\nabla \cdot \vec{J} \neq 0\$ en los dos extremos). Por suerte, para un segmento de cable lo suficientemente largo si \$x \ll a\$ y \$y^2 + z^2 \ll a^2\$ el campo se acerca al verdadero campo B.
Sin embargo, estas ecuaciones siguen siendo útiles para longitudes de segmento finitas, ya que podemos girar/trasladar/estirar los resultados y superponer múltiples segmentos para obtener un bucle cerrado de alambre, en cuyo caso satisfacemos \$\nabla \cdot \vec{J} = 0\$ y el campo B calculado es exacto.
