Fracción continua $[0;0,0,0,\ldots] = \pm 1$

Question

Me gustaría representar a cada $x\in\mathbb{R}_{>0}$ como una fracción continua única. Representamos cada $x$ con $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots]$ como es habitual para la fracción continua. para los números irracionales, sabemos que la secuencia es infinita. Para los números racionales tenemos una secuencia finita. Para tener una representación única en esta notación me gustaría extender la secuencia con ceros. Por ejemplo, $\frac{415}{93} = [4;2,6,7]$ se ampliaría a $[4;2,6,6,0,0,\ldots]$ . Calculamos $$0+\frac{1}{0+\frac{1}{0+\ddots}},$$

$x_{n+1}=0+\frac{1}{x_{n}}\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1.$

¿Sería esta una representación única para $x\in\mathbb{R}_{>0}$ o esto daría un problema ya que la fracción continua de $[0;0,0,\ldots]$ también es $-1$ . ¿Es posible solucionar este problema?

Answer 1

Mi intuición es que no deberías proceder en esta dirección en absoluto A no ser que esta nueva notación te permita obtener algo realmente grande (algún resultado imposible o muy difícil de obtener de otra manera), lo cual es muy poco probable, ya que sería un resultado, esencialmente, sobre números racionales.

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Me explayaré.

Esto se debe a que, con las fracciones continuas ordinarias, aunque sean infinitas, el número irracional resultante es el límite (en el sentido del cálculo ordinario) de la secuencia de las fracciones continuas truncadas (finitas). Sin embargo, una vez que se inicia la cola de ceros, el truncamiento es imposible. No se podrá obtener el valor de $0+\frac{1}{0+\frac{1}{0+\ldots}}$ utilizando el límite analítico estándar. Su técnica (" $x=0+\frac{1}{x}$ ") es útil para calcular los límites que ya existen pero aquí ni siquiera tienes una secuencia que debería converger a algo, porque cualquier truncamiento finito resulta en una división por cero.

Por supuesto, puedes dejar de lado todo eso y decir "déjame introducir una nueva notación, en la que $0+\frac{1}{0+\frac{1}{0+\ldots}}$ tiene el valor (digamos, $1$ ), y déjame desarrollar las matemáticas que demuestran algunas reglas sobre esa nueva notación. Podría ser posible (aunque mi opinión es que es muy poco probable que llegues a algo que no puedas demostrar sin usar esta notación).

Unas últimas observaciones:

• La introducción de ceros hará que las fracciones continuas sean ambiguas. Di, $[1;1,1,1,1,1,\ldots]=\varphi$ pero si introduces ceros, $[1;0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,\ldots]$ sería $\varphi$ también.
• Además, ¿qué es $[1;0,1,0,1,0,1,\ldots]$ ? (Tiene que ser un número $x$ tal que $x=x+1$ .)

En conjunto, creo que al añadir la posibilidad de que algunos números en la expansión de la fracción continua sean ceros, se pierden algunas propiedades importantes de las fracciones continuas -¿se gana lo suficiente como para justificar esa pérdida?

Answer 2

El valor de la fracción continua es, por definición, $\lim r_n$ donde el $r_n$ son los convergentes $$ r_0 = 0,\\ r_1 = 0 + \frac{1}{0},\\ r_2 = 0 + \frac{1}{0+\frac{1}{0}},\\ \vdots\\ r_{n+1} = 0+\frac{1}{r_n}\\ \vdots $$ Debido a los ceros en el denominador, no podemos hacer esto en los números reales. Así que vamos a hacerlo en la esfera de Riemann (también conocida como línea proyectiva). Entonces $$ r_0 = 0\\ r_1 = 0+\frac{1}{0} = \infty\\ r_2 = 0+\frac{1}{\infty} = 0\\ r_3 = 0+\frac{1}{0} = \infty $$ alternando entre $0$ y $\infty$ . Por lo tanto, en la esfera de Riemann, esta secuencia no converge.

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En la teoría convencional de las fracciones continuas con entradas reales, existe un teorema según el cual si $b_k \ge c$ para algunos $c>0$ entonces $$ b_0 + \frac{1}{b_1+\frac{1}{\displaystyle b_2+\ddots}} \tag1$$ converge. Incluso si el $b_k$ son positivos pero convergen a $0$ podríamos obtener la divergencia para la fracción continua $(1)$ .