Cómo encontrar la intersección de una elipse con una recta que pasa por los focos

Question

Hay dos líneas, paralelas a la $x$ -que pasan por los focos y cortan la elipse en cuatro puntos. ¿Cómo puedo encontrar los puntos de intersección?

• vértice: $(0,0)$
• focos de atención: $(0,10)$ y $(0,-10)$
• covertidos: $(20\sqrt2, 0)$ y $(-20\sqrt2, 0)$

Answer 1

Ni siquiera se necesita la ecuación de la elipse si se utiliza la propiedad de que, para cualquier punto $(x,y)$ en la elipse, la suma de las distancias de $(x,y)$ a los focos es una constante. Como sabemos que $(20\sqrt2,0)$ es un punto de la elipse, podemos encontrar esta constante:

$\lVert (20\sqrt 2, -10)\rVert+\lVert(20\sqrt 2, 10)\rVert=2\sqrt{ 800+100}=60$ .

Ahora sabemos que la coordenada y de los puntos de intersección de la línea que pasa por $(0,10)$ es $10$ Así que sólo necesitamos la coordenada x. Así que tenemos que $$\lVert(x,10)-(0,10)\rVert + \lVert(x,10)-(0,-10)\rVert = 60\\ \lvert x \vert + \sqrt {x^2+400}=60\\ x^2+400=60^2-120\lvert x\rvert+x^2\\ \lvert x \rvert=\frac {3200}{120}=\frac {80} 3$$

Así que los puntos de intersección son $(\frac {80} 3 , 10)$ y $(\frac{-80} 3,10)$ . El mismo método te permitirá encontrar los otros dos puntos, ¡pruébalo! (También podrías apelar a la simetría, pero es bueno que trabajes el argumento por tu cuenta también).