¿Conversión de la prueba de proporción?

Question

Mi pregunta es la siguiente

Si $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n4^n$ converge, entonces $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(-2)^n$ ¿converge?

Sé que esto se puede demostrar utilizando el radio de convergencia. Pero alguien dio lo siguiente

Como $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n4^n$ converge, por la prueba de la relación, para un tamaño suficientemente grande $n$ tenemos $$\left|\frac{c_{n+1}4^{n+1}}{c_n4^n}\right|\le 1.$$ Así, tenemos $$\left|\frac{c_{n+1}(-2)^{n+1}}{c_n(-2)^n}\right|\le\frac{1}{2}.$$ De nuevo utilizando la prueba de la proporción, tenemos que $\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(-2)^n$ converge.

¿Es esto posible? Como nunca he oído hablar de la prueba de la relación inversa no estoy seguro de que esto sea correcto o no.

Answer 1

Sí, esto es cierto, pero el argumento de tus amigos no es sólido. Es posible para $\sum_n a_n$ para converger absolutamente pero para $|a_{n+1}|>|a_n|$ infinitamente a menudo.

Un argumento sólido es observar que $\sum c_n4^n$ convergente, significa que $|c_n 4^n|$ está acotado, por $M$ decir, y luego $|c_n(-2)^n|\le M/2^n$ .