Medidas marginalmente continuas

Question

Consideremos una densidad continua f en $\mathbb{R}^{2}$ y supongamos que $\mu$ es la correspondiente medida de Lebesgue-Stieltjes en el espacio producto $\left(\mathbb{R}^{2},\,\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\right)$ . Supongamos que los márgenes respectivos vienen dados por $\mu_{1}$ y $\mu_{2}$ que también representan las densidades marginales continuas de f. ¿Es cierto que la medida $\mu$ es absolutamente continua con respecto a la medida del producto $\mu_{1}\times\mu_{2}$ ? He podido averiguar que esto es cierto en los conjuntos de cilindros, y he visto que es cierto en otros lugares sin detalles, pero no puedo averiguarlo completamente. Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

La continuidad de la densidad $f$ es innecesario. Deje que $A$ sea un conjunto con $\mu_1\times\mu_2(A)=0$ como antes. Sea $f_1$ y $f_2$ denotan las densidades marginales de $f$ (por ejemplo $f_1(x) =\int f(x,y)\,dy$ ), dejemos que $A_1=\{x: f_1(x)=0\}$ , $A_2=\{y:f_2(y)=0\}$ y $G=\{(x,y):f_1(x)f_2(y)=0\}$ . PhoemueX ha argumentado que $A\setminus G$ tiene medida de Lebesgue $0$ Por lo tanto $\mu(A\setminus G)=0$ . Claramente $A$ es un subconjunto de la unión de $A_1\times\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}\times A_2$ y $A\setminus G$ . Y, por el teorema de Fubini/Tonelli, $$ \mu(A_1\times\mathbb{R})=\int_{A_1}\left[\int_{\mathbb{R}} f(x,y)\,dy\right]\,dx =\int_{A_1} f_1(x)\,dx =0. $$ De la misma manera, $\mu(\mathbb{R}\times A_2)=0$ . De la subaditividad se deduce que $\mu(A)=0$ . Esto demuestra que $\mu$ es absolutamente continua con respecto a $\mu_1\times\mu_2$ .

Answer 2

Supongamos que $\mu_1 \times \mu_2 (A)=0$ . Esto significa que

$$ 0=\int \chi_A (x,y) \int f(x,z)\, dz \int f(w,y)\, dw \, d(x,y). $$

Como el integrando es no negativo, esto implica que para Lebesgue casi todo $(x,y)\in A$ tenemos

$$ \int f(x,z)\, dz \int f(w,y)\, dw =0. $$

Pero esto implica

$$ \int f(x,z)\, dz =0, $$ o $$ \int f(w,y)\, dw=0. $$ En el primer caso se obtiene $f(x,z)=0$ para casi todos $z$ porque el integrando es no negativo. Pero por continuidad de $f$ Esto implica $f(x,z)=0$ para todo $z$ y en particular $f(x,y)=0$ .

En el otro caso, un argumento similar da como resultado $f(x,y)=0$ . Como esto es válido para Lebesgue casi todos los $(x,y)$ obtenemos

$$ \mu (A)=\int \chi_A (x,y) f(x,y)\, d(x,y)=0. $$ Esto completa la prueba.

Observación: Sólo utilizamos la continuidad de $f$ en cada variable por separado aquí.