Dadas las expectativas y varianzas de las variables aleatorias comprueba si pueden ser independientes?

Question

Tengo el siguiente ejercicio:

Sabiendo que $E[X] = E[Y] = E[Z] = 0$ y $E[X^2] = E[Y^2] = E[Z^2] = 1$ . Variables aleatorias $X, Y - X, Z - Y$ son independientes. Puede $X, Z$ ser independiente?

¿Puede alguien darme una pista sobre cómo enfocar este problema?

Answer 1

Si los VR enumerados son independientes, sus covarianzas deberían ser $0$ . Así que, $$\operatorname{cov}(X,Y-X)=-\operatorname{var}(X)+\operatorname{cov}(Y,X)=0$$

$$\operatorname{cov}(X,Z-Y)=\operatorname{cov}(X,Z)-\operatorname{cov}(X,Y)=0$$

De la primera ecuación, $\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{var}(X)=1$ . Sustituyendo esto en la segunda ecuación se obtiene $\operatorname{cov}(X,Z)=1$ . Si la covarianza de dos RVs no es $0$ No pueden ser independientes.