Estoy tratando de aclarar mi comprensión de la diferencia entre naturaleza nodos y oportunidad nodos en los juegos de forma extensiva. En concreto, sobre la implicación del cálculo del equilibrio.
Entendimiento actual
Los nodos de la naturaleza determinan las propiedades fundamentales del conocimiento privado (denominado tipo) antes de que comience el juego mientras que los nodos de azar modelan algunos resultados aleatorios durante el juego .
De la literatura...
El texto "Teoría del Juego" de Myerson describe nodos de azar (pp. 39) como sigue:
Si el evento está determinado por el azar, entonces le damos al nodo una etiqueta "0" (cero). Es decir, un nodo no terminal con etiqueta "0" es un nodo de azar, en el que la siguiente rama en la trayectoria del juego estaría determinada por algún mecanismo aleatorio, según las probabilidades que se muestran en las ramas que siguen al nodo de azar.
Myerson no utiliza nunca la terminología "nodos naturales", sino que los llama nodos de azar históricos (pp. 67) que se utilizan para definir los tipos:
...debemos admitir la posibilidad de que un jugador pueda tener alguna información privada ya en el primer momento en que comienza a planificar sus movimientos en el juego. La información privada inicial que tiene un jugador en ese momento se denomina tipo del jugador.
Los juegos con información incompleta pueden modelarse de forma extensiva utilizando un nodo de azar histórico para describir la determinación aleatoria de los tipos de los jugadores.
Así que en este punto, me parece que todos los nodos de naturaleza son nodos de azar, pero puede haber algunos nodos de azar (internos) en el árbol del juego que no sean nodos de naturaleza (o como dice Myerson "nodos de azar históricos").
Esto coincide con Fudenberg y Tirole en su descripción de la selección de tipos de la naturaleza; véase la segunda página de Fudenberg y Tirole de 1991 papel :
Nos centramos en juegos de varios periodos con acciones observadas, en los que los jugadores se mueven simultáneamente en cada periodo, y el juego de cada periodo se revela antes de que comience el siguiente. La única asimetría de información en estos juegos es que cada jugador conoce su propio "tipo" (Harsanyi [6]), que se elige por naturaleza al comienzo del juego y se le revela sólo a él; la función de recompensa de cada jugador depende de su tipo y posiblemente también de los tipos de los otros jugadores. Esta clase de juegos incluye muchas aplicaciones a la economía, como los juegos de negociación, de reputación y de depredación.
Inmediatamente después del texto anterior, Fudenberg y Tirole afirman que la definición de PBE requiere que los tipos sean independientes:
Comenzamos desarrollando una definición de "PBE para juegos con tipos independientes".
No creo que Fudenberg y Tirole estudien juegos con nodos de azar (al menos el concepto no aparece en su artículo de 1991).
Preguntas
Mis principales preocupaciones se refieren a la idoneidad del PBE cuando el juego tiene nodos de azar. En concreto, consideremos un juego que incluye un nodo de naturaleza que especifica los tipos de los jugadores (de forma independiente) antes de que comience la partida, así como nodos de azar que determinan el resultado de los eventos aleatorios durante la partida.
Si el resultado de estos nodos de azar fuera información privada para un jugador, ¿no sería posible modelar estos eventos aleatorios (nodos de azar) como nodos de naturaleza al principio del juego?
Si es así, dado que la definición de PBE requiere que los tipos sean independientes, ¿es cierto que en cualquier juego que tenga nodos de naturaleza (que dictan el tipo) así como nodos de azar (que describen cualquier otra aleatoriedad en el problema) que la distribución de probabilidad de los resultados de un nodo de azar debe ser independiente de los tipos de jugador ?
En resumen, la distinción entre los nodos de naturaleza y los de azar no parece atenerse a reglas estrictas. Yo esperaría una delimitación más formal en la literatura entre nodos de azar y nodos de naturaleza (o al menos los diferentes tipos de incertidumbre que harían que uno modelara un evento aleatorio con un nodo de naturaleza, frente a otro evento aleatorio con un nodo de azar). Parece que uno puede modelar el mismo juego de muchas maneras diferentes (eligiendo qué eventos son dictados por la naturaleza al principio del juego, y qué eventos son dictados por el azar) lo que, por la suposición de tipos independientes en la definición de PBE, parece requerir algunas suposiciones adicionales sobre la naturaleza de las distribuciones de probabilidad de los nodos de azar. Lo que me preocupa es que no he visto en la literatura ninguna de esas suposiciones sobre los nodos de azar. Sería útil ver un juego en el que haya nodos de azar cuyos resultados sean depende del tipo .
TL;DR: ¿Es necesario que las distribuciones de probabilidad de los resultados de los nodos de azar sean independientes del tipo?
