Lema fundamental: ¿por qué el factor de transferencia es una potencia de q

Question

Dejemos que $k$ sea un campo finito de característica suficientemente grande, $F = k((t))$ y $\mathfrak{o} = k[[t]]$ . Sea $G$ sea un grupo algebraico reductor definido sobre $\mathfrak{o}$ . De forma aproximada, en aras de la brevedad, el lema fundamental del álgebra de Lie de Ngô afirma que existe una igualdad de la forma $$ \mathcal{O}^\kappa_a = q^r\mathcal{SO}_{a_H} $$ donde $\mathcal{O}^\kappa$ es un $\kappa$ -integral orbital para $G$ y $\mathcal{SO}$ es una integral orbital estable para un grupo endoscópico $H$ asociado a $\kappa$ (o, más exactamente, un dato endoscópico). H $\kappa$ es un carácter de un grupo de cohomología asociado a la clase de conjugación estable $a$ en $\mathrm{Lie}(G)(F)$ y $a_H$ es la clase de conjugación correspondiente en $\mathrm{Lie}(H)(F)$ . Una formulación más detallada y precisa se encuentra en [1], pero esto debería ser suficiente para la pregunta.

Considere factor de transferencia $q^r$ frente a la integral orbital estable: es una simple potencia de $q$ y $r$ depende de $a$ y $a_H$ (el número $r$ es la diferencia de dimensiones de las fibras afines de Springer asociadas).

¿Existe una explicación o heurística relativamente sencilla, quizás "geométrica", de por qué el factor de transferencia en el lema fundamental es una simple potencia de $q$ frente a otro polinomio en $q$ como por ejemplo $q^{r_1} + 2q^{r_2}$ donde $r_1$ y $r_2$ sólo dependen de $a$ y $a_H$ ?

El artículo de Hales [2] es un buen resumen relativamente no técnico del lema fundamental que discute brevemente este factor de transferencia pero no responde del todo a esta pregunta.

[1] Ngô, Bao Châu. El lema fundamental para las álgebras de Lie. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. Nº 111 (2010), 1-169

[2] Hales, Thomas C. The fundamental lemma and the Hitchin fibration [after Ngô Bao Châu]. Séminaire Bourbaki: Vol. 2010/2011. Exposés 1027-1042. Astérisque No. 348 (2012), Exp. No. 1035, ix, 233-263.

Answer 1

Esperaba que un experto hubiera comentado esto. En cualquier caso, a mi entender, se reduce a la pureza. Uno lo ve por consideraciones globales: mira la fibra sobre la base de Hitchin $\mathcal A_G$ por el teorema de descomposición del BBDG el complejo $f_*\bar{\mathbb Q}_\ell$ es una suma directa de factores perversos simples, y el teorema de la pureza nos dice que los valores propios de la acción de Frobenius de cada sumando es una potencia de $q$ .

Ngô demuestra esto "a mano" para un subconjunto abierto "bueno" del lugar anisotrópico, es decir, verifica algunos casos especiales de esto, y luego mediante un argumento de continuidad es capaz de extenderlo a todo el lugar.

Ahora el poder exacto de $q$ creo que viene de la elección de ciertos divisores denotados $\mathfrak D_H$ y $\mathfrak R^H_G$ relacionados con el discriminante y las resultantes de la clase de conjugación en cuestión. Pero finalmente el exponente mide la codimensión del estrato endoscópico $\mathcal A_H$ en $\mathcal A_G$ que localmente se relaciona con la dimensión de las fibras afines de Springer, como sabes.

Esto se menciona en parte en el informe de J.F. Dat y D.T. Ngô en Lemma fundamental para las álgebras de Lie , pp. 20-21, pero no he podido rastrear esto con precisión en el documento original de B.C. Ngô.

EDIT: Mirando más de cerca, no estoy tan seguro de que mi primer párrafo sea la respuesta correcta. Pero si te apetece, creo que la clave está en el Lemme 8.5.7 de Ngô, donde hace los cálculos locales (conteo de puntos) para algunos casos más sencillos. Si ese es el caso, entonces no parece haber una razón geométrica para la potencia de $q$ , excepto que coincide con la forma esperada.