¿Las mismas condiciones de partida conducen siempre a los mismos resultados?

Question

Mi amigo y yo estamos discutiendo si los fenómenos físicos son o no deterministas. Digamos, por ejemplo, que tenemos una caja tridimensional con bolas en su interior sobre las que no actúan fuerzas gravitatorias. Cada una de las bolas tiene su propio tamaño, masa, posición inicial y velocidad inicial. Después de un tiempo determinado, las bolas habrán cambiado de posición y posiblemente también de velocidad debido al movimiento y a posibles colisiones con otras bolas.

La pregunta es si el mismo estado inicial lleva siempre al mismo estado después de un tiempo determinado. En otras palabras, si tenemos dos cajas del mismo tamaño con el mismo número de bolas del mismo tamaño, comenzando en las mismas posiciones con las mismas velocidades iniciales, ¿las bolas dentro de cada caja estarán en las mismas posiciones, como esperaríamos de un sistema determinista, o habrá alguna aleatoriedad involucrada?

Answer 1

Hay varias capas, así que me divierto descubriéndolas.

La primera capa es la simple mecánica de la red. Si nos suponga que Se aplica la mecánica de redes, y que el universo sólo consiste en esta caja y su contenido, y el contenido de la caja se establece exactamente igual cada vez, entonces las posiciones resultantes de las bolas a medida que pasa el tiempo es determinista. Será exactamente la misma, cada vez.

Sin embargo, la cosa se pone más interesante. La mecánica newtoniana puede ser _caótico_ . Un sistema caótico es sensible a las condiciones iniciales. Una ligera perturbación de la configuración puede producir resultados drásticamente diferentes. Tal vez usted ponga una de las bolas en el lugar equivocado: fuera de 0,5 mm. Esto puede hacer que las colisiones se produzcan de forma diferente, y conducir a resultados drásticamente diferentes. Un ejemplo clásico de esto es el doble péndulo . En muchas regiones, su movimiento es muy sensible a las condiciones iniciales. En este sentido, la caja es impredecible pero determinista . Sólo hay una manera de que las bolas se muevan, pero es imposible de predecir porque predecirlo adecuadamente requeriría mediciones infinitamente precisas, y no tenemos ninguna manera de medir cosas así.

Lo que nos lleva a ampliar nuestro universo. Hasta ahora, sólo hemos considerado un universo que contiene esta caja y sólo esta caja. Pero hay influencias externas en las cajas del mundo real. Por ejemplo, hay fuerzas gravitacionales que se aplican. Literalmente, la posición de Júpiter podría afectar a la posición de estas bolas que chocan entre sí, cambiando sutilmente las velocidades de las bolas.

Por supuesto, lo que acabo de decir suena a astrología, así que debería retroceder un poco. En práctico escenarios, Júpiter no va a afectar notablemente a los resultados. En un sistema verdaderamente caótico, todas las entradas importan, pero en nuestra caja práctica, fuerzas como la fricción van a hacer que el sistema sea muy predecible. No hace falta ir a un adivino para encontrar la alineación de los planetas antes de hacer este experimento en la vida real.

Pero nosotros son bueno en hacer experimentos que se acercan cada vez más a estos entornos caóticos ideales. Así que podemos preguntarnos qué ocurre cuando llevamos esto al extremo. ¿Qué sucede cuando hacemos un experimento tan refinado que Júpiter es que tiene un efecto. Pues bien, también empezamos a ver otros efectos: los efectos cuánticos. Los efectos cuánticos perturbarán la configuración, al igual que si no se colocan perfectamente todas las bolas, o si no se tienen en cuenta los efectos gravitatorios de Júpiter. Estos efectos son pequeño Por lo tanto, en cualquier situación práctica, no los observará. Sin embargo, están ahí. Y lo interesante de ellos es que, por lo que sabemos, son verdaderamente aleatorio . No conocemos ninguna forma de predecir los efectos de las interacciones cuánticas a nivel de partícula por partícula. Por lo que podemos decir, sus efectos son realmente no deterministas, y por lo tanto su caja también es no determinista.

Pero, dando un paso atrás, si se mira la suma total de muchos trillones de interacciones cuánticas que ocurren cada segundo, los resultados son estadísticamente predecibles. Si se toman las leyes de la mecánica cuántica y se aplican a cuerpos increíblemente grandes y no coherentes (como una bola de billar o una caja), se descubre que las ecuaciones se simplifican a la mecánica newtoniana (más o menos). Así que, a no ser que se diseñen cuidadosamente la caja y las bolas con la intención expresa de detectar los efectos no deterministas de la mecánica cuántica, se verá que las bolas se comportan de forma muy determinista (aunque si se construye un sistema caótico, puede que sigan sin ser predecibles).

Answer 2

En la mecánica newtoniana no hay aleatoriedad una vez que se conocen todos los datos iniciales. De hecho, dejemos que $M$ sea el espacio de fases de un sistema clásico. Los puntos de $M$ son pares $(q,p)$ de coordenadas y momentos.

La evolución temporal del sistema se describe mediante ecuaciones diferenciales ordinarias en $M$ y una vez conocidas las condiciones iniciales, por el teorema de existencia y unicidad para soluciones de EDO's se obtiene el resultado de que existe un único camino en el espacio de fase correspondiente a la secuencia de estados parametrizados por el tiempo, es decir, una única asociación

$$t\mapsto (q(t),p(t)).$$

El problema es que si el sistema tiene un gran número de partículas el problema se vuelve extremadamente difícil de abordar. Por eso se estudian sistemas como éste con la Mecánica Estadística y luego se empieza a tratar con las medias y demás. Pero si se conocieran todos los datos iniciales y se pudieran resolver las ecuaciones de la Mecánica Clásica (la existencia está garantizada, pero puede ser muy difícil como ya he dicho), hay un camino único de evolución sin aleatoriedad alguna.

EDITAR: Abordemos esto desde un punto de vista diferente. En la Mecánica Cuántica un sistema se describe mediante un espacio de estados $\mathcal{H}$ que matemáticamente es un espacio de Hilbert. Los elementos de $\mathcal{H}$ son vectores llamados vectores de estado que denotamos como $|\varphi\rangle$ . Resulta que si conoce el estado del sistema , lo que significa que sabes qué vector de estado lo describe, todavía no tienes información completa sobre el sistema.

Un ejemplo: considere una sola partícula con espín $1/2$ . El espín puede ser ascendente o descendente. Si el espín de la partícula es ascendente, el estado del sistema es $|\uparrow\rangle$ y si se cae el estado es $|\downarrow\rangle$ . Estos estados son sencillos de entender, pero eso no es todo. El estado más general es $|\varphi\rangle = a |\uparrow\rangle + b |\downarrow\rangle$ y en este estado todo se puede decir que hay una probabilidad de $|a|^2$ que cuando se mide el giro será hacia arriba y $|b|^2$ que cuando se mide el giro será hacia abajo.

Y eso no es todo. Incluso en el estado $|\uparrow\rangle$ usted no puede conocer el $x$ y $y$ componentes del giro. Sólo se conoce el $z$ componente es $1/2$ . Todo lo que puedes conseguir son probabilidades.

Así que en QM aunque se conozca el estado, no se conoce todo. Hay una aleatoriedad que forma parte de la teoría.

Sin embargo, la evolución es determinista . Dado un estado inicial, hay precisamente una única evolución. Pero eso no es lo importante. El sistema evolucionará a algún otro estado como los que he ejemplificado, y en el estado habrá información inaccesible sobre el sistema. De nuevo, la evolución determinista garantiza que se puede evolucionar a un estado inicial de forma única, pero aunque se conozca el estado, no se puede conocer todo.

La mecánica clásica no es así. En un Sistema Clásico puedes conocer tanto la posición como el momento exactamente en cada estado. Cada observable es una función de la posición y el momento, de ahí que conozcas cualquier cantidad física si conoces el estado. Junto con el hecho de que la evolución en el tiempo es única, si conoces el estado inicial lo conoces todo.

De nuevo es necesario conocer exactamente: (i) las condiciones iniciales, (ii) la solución de las ecuaciones de movimiento. Se garantiza que existe, pero no se garantiza que sea fácil de conocer.

Answer 3

Quiero destacar algo que está implícito en las otras respuestas pero que no se dice explícitamente:

Su problema no está tan claramente definido como cree.

¿Por qué?

• Si tu pregunta se refiere a la vida real, entonces, como la medición perfectamente precisa es imposible, el problema no tiene sentido: nunca podrás saber de verdad si las bolas están en las mismas posiciones que en el experimento anterior, ni si se han comportado de la misma manera. A no ser que tu pregunta sea estadística, pero entonces, como se ha mencionado anteriormente, tendrías que definir tu problema con más precisión (tolerancias para las mediciones, por ejemplo; pero entonces, como mencionó Cort Ammon, conocemos sistemas que son caóticos, lo que significa que no puedes prescribir cierta precisión para el estado inicial y esperar que el resultado esté dentro de la misma precisión).

• Si la pregunta es sobre física, entonces la estás situando en algún marco teórico, y cada uno tiene su propia respuesta (en la Mecánica Newtoniana la respuesta sería sí, en la Mecánica Cuántica la respuesta sería no). Para correlacionar la teoría con la vida real se necesitaría la experimentación, y entonces se vuelve al primer punto.

Answer 4

Para su ejemplo dado, los resultados en el caso "ideal", serían deterministas. Sin embargo, donde falla, es el hecho de que no podemos dar a las bolas de una caja la "misma posición y velocidad" de las bolas correspondientes de la otra caja, ¡salvo con un cierto grado de precisión! Con un tiempo lo suficientemente largo, incluso las pequeñas diferencias en la posición inicial y las velocidades, acabarán llevando a las bolas correspondientes a estados diferentes.

Answer 5

La mecánica cuántica devuelve la medición del estado que se intentó obtener y da lugar a resultados que no se pueden medir del todo debido a la pequeña variación en la medición y lo que es en realidad, es decir, Copenhague, etc., si se lanzan esas mediciones en un modelo no lineal sería groseramente diferente de la realidad un sistema como un péndulo la variación no sería tan significativa, pero todavía sería mensurablemente diferente y su comportamiento es absolutamente determinado como función de una ecuación diferencial. El mundo es un lugar loco y nuestro modelo que tenemos ahora debería ser determinante si lanzamos un estado en él, pero en principio esto no es físicamente posible a menos que tu demonio de Laplace y seas capaz de tener una percepción de un estado general completo de todo en un momento en el tiempo y realmente lanzarlo en su propio modelo y así poder determinar el pasado presente y futuro.