Ejemplos de subgrupos de raíces, parabólicos y de boro correspondientes a las raíces

Question

Estoy interesado en ver algunos ejemplos de subgrupos raíz, parabólicos y de Borel dado un grupo reductor específico $G$ . Esto es lo que sé.

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico reductor sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de la característica $p$ . Fijar un toro maximalista $T\subset G$ y que $T$ actuar sobre Lie $(G)=\mathfrak{g}$ a través de la acción adjunta. Entonces $\mathfrak{g}$ se descompone como una suma directa de los eigenspaces correspondientes a esta acción. Los valores propios son las raíces del grupo de caracteres del toro $T$ . Dejemos que las raíces de $G$ con respecto a $T$ se denotará por $\Phi$ . Elija un conjunto de raíces simples $\Pi\subset\Phi$ .

Para cada raíz $\alpha$ podemos definir de forma única un subgrupo raíz $U_{\alpha}$ de $G$ como imagen de un determinado subgrupo de un parámetro $\mathbb{G}_a\to G$ . Además, dado un subconjunto $J\subset\Pi$ de raíces simples, podemos definir $P_J=\langle T,U_{\alpha}|\alpha\in J\rangle$ . Por último, existe exactamente un subgrupo de Borel que contiene los subgrupos de raíces correspondientes a todas las raíces positivas (que dependen de la elección de $\Pi$ ).

¿Es todo esto correcto? Si es así, no significa mucho para mí sin ver un ejemplo o dos trabajados. ¿Cuáles son los ejemplos de estos subgrupos en el caso de que $G=GL_n$ y $T$ ¿es el subgrupo diagonal? Si esto es demasiado para escribirlo aquí, agradecería un enlace a algún apunte online que trabaje este ejemplo a fondo. Sería bueno ver cómo $T$ determina el conjunto de raíces $\Phi$ , cuáles son los subgrupos de raíces para una raíz arbitraria, cuáles son los subgrupos parabólicos para subconjuntos de una elección de raíces simples y cuál es el correspondiente subgrupo de Borel.

Answer 1

Yo también soy un principiante en este campo. Lo siguiente es un ejemplo.

Para $G=GL_n$ , $T=\{\mathrm{diag}(c_1,\cdots c_n),c_i\in G_m\}$ el conjunto de matrices diagonales en $G$ . $T\simeq G_m^n$ es un toro de $G$ .

1. Considere el grupo de caracteres $X^*(T)$ . Consiste en una base natural $$ \epsilon_j:T\rightarrow G_m,\quad \epsilon_j(\mathrm{diag}(c_1,\cdots c_n))=c_j $$ Todos los caracteres de $T$ es un $\mathbb{Z}$ -combinación lineal de $\epsilon_j$ .

2. $Lie(G)=\mathfrak{gl}_n$ el conjunto de $n\times n$ de los matices. Tiene una base natural $E_{ij}$ la matriz con $1$ en $(i,j)$ y $0$ de lo contrario.

3. Para $t=\mathrm{diag}(c_1,\cdots c_n)\in T$ Consideremos la acción adyuvante sobre $E_{ij}$ . \begin{eqnarray*} \mathrm{Ad}t.E_{ij}=\begin{cases}E_{ij},&\quad i=j\\ (c_ic_j^{-1})E_{ij}=(\epsilon_i-\epsilon_j)(t)E_{ij}&\quad i\neq j\end{cases} \end{eqnarray*} Muestra que $E_{i,i}$ están en el espacio weiht cero, y $E_{ij},i\neq j$ son espacios de peso no nulo de peso $\alpha_{ij}=\epsilon_i-\epsilon_j$ .

4. Así, el sistema de raíces de $G=GL_n$ es $$\Phi=\{\pm\alpha_{ij}=\pm(\epsilon_i-\epsilon_j),1\leq i< j\leq n\}.$$ Se puede elegir un conjunto de raíces positivas $$\Phi^+=\{\alpha_{ij}=(\epsilon_i-\epsilon_j),1\leq i< j\leq n\}.$$ y el conjunto de raíces simples $$\Delta=\{\alpha_{i,i+1}=(\epsilon_i-\epsilon_{i+1}),1\leq i< j\leq n\}.$$ Es fácil ver que los elementos en $\Phi$ son $\mathrm{Z}$ -combinación lineal de $\Delta$ y elementos en $\Phi^+$ son con coeficientes no negativos.

Answer 2

Consideramos que $X_*(T)=\{\lambda^\vee:G_m\rightarrow T\}$ el conjunto de $1$ -parámetros subgrupos.

1. Es fácil ver que $X_*(T)$ es un programa gratuito $\mathbb{Z}$ -módulo con generadores \begin{eqnarray} \epsilon_j^\vee:G_m\rightarrow T,\quad c\mapsto \mathrm{diag}(1,\cdots c,\cdots 1) \end{eqnarray}

2. Considera la composición: \begin{eqnarray} \epsilon_j\circ\epsilon_i^\vee:G_m\rightarrow T\rightarrow G_m \end{eqnarray} Es fácil ver que $\epsilon_j\circ\epsilon_i^\vee=0$ si $i=j$ y $\epsilon_j\circ\epsilon^\vee_j=1$ es el mapa de identidad en $G_m$ . Por lo tanto, tenemos un $\mathbb{Z}$ -Mapa lineal \begin{eqnarray} X^*(T)\times X_*(T)\rightarrow \mathbb{Z},\quad (\lambda,\mu^\vee)\mapsto\lambda\circ\mu^\vee \end{eqnarray} y $\{\epsilon_i\}$ y $\{\epsilon_i^\vee\}$ son el doble $\mathrm{Z}$ -base.

3. Dado $\alpha_{ij}=\epsilon_i-\epsilon_j$ . Considere $\alpha_{ij}^\vee=\epsilon_i-\epsilon_j$ . Es un elemento en $X_*(T)$ y uno tiene $$\alpha_{ij}\circ\alpha_{ij}^\vee= \epsilon_i\circ\epsilon_i^\vee+(-\epsilon_j)\circ(-\epsilon_j^\vee)=2.$$ Así, $\alpha_{ij}^\vee$ son los coros de $\alpha_{ij}$ . El conjunto de corroots son $$ \Phi^\vee=\{\pm\alpha_{ij}^\vee=\pm(\epsilon_i-\epsilon_j),1\leq i<j\leq n\} $$

Answer 3

Ahora tenemos el dato raíz de $G=GL_n$ . También hemos elegido un conjunto de raíces positivas $\Phi^+$ como en el caso anterior. Para cada $\alpha_{ij}\in\Phi^+$ como el argumento anterior, el espacio raíz correspondiente son $$\mathfrak{gl_n}_{\alpha_{ij}}=\mathbb{C}E_{ij}.$$ A grandes rasgos, el toroide $T$ y todos los espacios de raíces positivas corresponden a la matriz triangular superior, que no es más que el subgrupo de Borel.