¿Son geodésicas cerradas los números primeros de las variedades de Riemann?

Question

Me pregunto hasta qué punto uno puede apoyar la analogía de que el primitivo cerrado geodesics son los números primos de Riemann colectores? ("Primitivas": remontar la vez, a diferencia $m$veces para $m \ge 2$.) De hecho, primitivo cerrado geodesics también son conocidos como "el primer geodesics," y hay un "primer geodesics teorema", cuyo recuento de los "primitivos clases conjugacy" es análoga a la del teorema de los números primos.

Pero estoy especialmente interesada en saber si la analogía puede ser apoyado por las características de geodesics y de los números primos que podría ser entendido por aquellos que no son ni los expertos en teoría de números, ni en Geometría de riemann. Yo una vez precipitadamente reclamado a los estudiantes en una clase que "cerrada geodesics son los números primos de Riemann colectores," pero en realidad no podía precisar el analogía en mucho detalle.

Answer 1

Hay trabajo en esta dirección por Alexander Reznikov y en otro orden de ideas por Christopher Deninger, pero tal vez es la analogía más accesible en términos de la fórmula del rastro de Selberg. El cerrado geodesics papel en determinar el espectro del laplaciano es paralelo al papel que números primos juegan en la determinación de la función zeta de Riemann.

Answer 2

Esto es sólo un comentario largo (como yo no sé mucho acerca de la teoría de los números). En primer lugar, creo que necesitas un poco de curvatura supuestos para esta analogía para el trabajo, ya que se descompone en el caso de la ronda de esferas y producto tori (no quiere continuo de "los números primos", supongo!). Usted probablemente debe asumir que la curvatura seccional del colector es negativo (tal vez constante) y el colector está completo y en formato compacto o ha finito de volumen. Usted también debe ceñirse a cerrado geodesics que no son múltiplos de otras cerrada geodesics (ya que estos son análogos a los compuestos de números de la forma $p^k$). Por otro lado, no tengo idea de lo que es un análogo del producto de dos números primos sería incluso bajo circunstancias más favorables. Una sugerencia sería restringir compactos hiperbólicos superficies y declarar que "prime" geodesics son la misma cosa tan simple geodesics. Dado esto, la primera analogía (que cualquiera puede entender) sería que hay infinitamente números primos y para cada compacto de superficie hiperbólica hay (countably) infinidad de simple y cerrada geodesics.