Cálculo del límite por la derecha de los exponenciales

Question

Estoy tratando de mostrar que $$\lim_{x \to 1_+} \frac{\frac{1}{1+e^{-\frac{1}{x-1}}e^{-\frac{1}{x-2}}}-1}{t-1} = 1$$ He intentado reescribirlo como $$\lim_{t \to 1_+} \frac{-e^{-\frac{1}{t-1}}e^{-\frac{1}{t-2}} }{(t-1)(1+e^{-\frac{1}{t-1}}e^{-\frac{1}{t-2}})} = \lim_{t \to 1_+} \frac{-e^{-\frac{1}{t-1}}e}{e^{-\frac{1}{t-1}}e - e^{-\frac{1}{t-1}}e } = \lim_{t \to 1_+} \frac{-1}{1-1}$$ Pero esto da lugar a $-\frac{1}{0}$ que por supuesto no es lo que busco. Cualquier ayuda sería genial

Answer 1

Si quiere calcular $$\lim_{x \to 1_+} \frac{\frac{1}{1+e^{-\frac{1}{x-1}}e^{-\frac{1}{x-2}}}-1}{t-1} = 1$$ que debería ser fácil. Como $x\to1^+$ el término $e^{-\frac{1}{x-1}}\to0$ . Así que terminas con $$\lim_{x \to 1_+} \frac{1-1}{t-1} = 0.$$ Si te refieres a $$\lim_{t \to 1_+} \frac{\frac{1}{1+e^{-\frac{1}{x-1}}e^{-\frac{1}{x-2}}}-1}{t-1} = 1,$$ este límite no existe para $x\neq1$ .