Cómo encontrar la base correspondiente de una matriz asociada a una transformación lineal

Question

Digamos que tengo una transformación lineal $f: \mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ definido como: $f(x_1,x_2,x_3) = (x_1+x_2-x_3, \ 2x_1 - 3x_2 + 2x_3, \ 3x_1-2x_2 + x_3) $ .

¿Cómo puedo encontrar $\beta_1, \beta_2$ tal que $[f]_{\beta_1\beta_2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ es la matriz asociada a $f$ en las bases $\beta_1, \beta_2$ ?

Estaba pensando que si $\beta_1 = \{v_1, v_2, v_3\}$ entonces $f(v1)_{\beta_2} = (1,0,0)$ y demás, pero no sé cómo encontrar esas bases.

Answer 1

Dejemos que $A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ \:2&-3&2\\ \:3&-2&1\end{pmatrix}$ sea la matriz estándar de $f$ . La forma escalonada reducida de $A$ est $\text{rref}(A)=\begin{pmatrix}1&0&-\frac{1}{5}\\ 0&1&-\frac{4}{5}\\ 0&0&0\end{pmatrix}$ . Del álgebra lineal elemental sabemos $\text{rref}(A)=RA$ donde $R$ es un producto de matrices elementales que codifican las operaciones de fila elementales que utilizamos para transformar $A$ en $\text{rref}(A)$ .

Si aplicamos la regla elemental columna operaciones $C_1\cdot \frac{1}{5}+C_3 \iff C_3$ y $C_2\cdot \frac{4}{5}+C_3 \iff C_3$ en $I_{3\times 3}$ obtenemos la matriz $C$ dado por $$C=\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{5}\\ 0&1&\frac{4}{5}\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ Multiplicando la matriz anterior a la izquierda por $\text{rref}(A)$ pone su matriz en la forma deseada. En otras palabras, $$RAC=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ Tomando $\beta_1=\{Ce_1,Ce_2,Ce_3\}$ y $\beta_2=\{R^{-1}e_1,R^{-1}e_2,R^{-1}e_3\}$ debería funcionar.