¿Cuando las clases características determinan un paquete?

Question

Deje $k$ ser un número natural y $F$ $\mathbb C$ o $\mathbb R$.

¿Qué condiciones debe ser impuesta a un espacio topológico que es cierto que un $k$-dimensiones del vector paquete definido a lo largo del $F$ en este espacio se determina por su característica de las clases de Chern o Stiefel-Whitney y Pontrjagin clases)?

Por ejemplo, en el caso de los complejos de la línea de paquetes es suficiente para tener $H^1(X,\mathbb C)=0.$ Esto viene de la exponencial de la secuencia que no existe en una dimensión superior.

Tal vez por $k>1$ esta pregunta es difícil de responder, en general, así que voy a ser más específico.

Es cierto compacto simplemente conectado orientada lisa de 4 colectores de que un real de 4 dimensiones del vector paquete está determinado por su Stiefel-Whitney y Pontrjagin clases? Esto daría una respuesta parcial a mi ayer se pregunta (Tangente paquetes de exóticos colectores), ya que en este caso característico de las clases de la tangente paquete puramente topológica de la información (firma, número de Euler y la diagonal de la intersección en forma de mod $2$).

Parece bien conocido que más del complejo proyectiva del espacio (y aún más de Grassmannian) en cada dimensión de un vector complejo paquete es determinado por el total de su clase de Chern. Es cierto en el caso real (o en el caso mixto de complejo de haces sobre el real Grassmannians o viceversa)? Podemos decir algo acerca de otro variedades algebraicas?

Answer 1

(Vamos a empezar con el caso complejo.)

Básicamente hay dos cuestiones aquí.

1) en Primer lugar, las clases de Chern estable invariante, es decir, no se puede distinguir de forma estable isomorfo vector de paquetes. Así que la pregunta se convierte en

Hacer clases de Chern determinar un elemento en el grupo $\tilde K^0(X)$ de vector de paquetes en $X$ modulo equivalencia estable?

(Ejemplo. Desde $\pi_4(U(2))=\pi_4(S^1\times S^3)=\mathbb Z/2$ hay un no-trivial 2-bundle en $S^5$. Pero, por supuesto,$\tilde K^0(S^5)=0$, por lo que este paquete es estable trivial - en particular, tiene cero Chern clases).

2) Este 'estable', variante de la pregunta es (todavía muy trivial, pero mucho más manejable (esencialmente porque el K-teoría es una generalización de los cohomology teoría, etc). El Chern personaje da un isomorfismo $K^0(X)\otimes\mathbb Q\to H^{\text{even}}(X;\mathbb Q)$. Así

si $K(X)$ no tiene torsión, un elemento de $K(X)$ está completamente determinado por sus clases de Chern.

Y si $H(X)$ es de torsiones así es $K(X)$ (esto se deduce de la AHSS). Eso es verdad, por ejemplo, para el complejo Grassmannians y la bandera de los colectores.

(Ejemplo. El si $L\in\tilde K^0(\mathbb RP^6)$ es el complexified tautológica paquete, $4L$ es no trivial de elemento, es decir, de una manera estable no trivial de paquete, con trivial clases de Chern.)

Answer 2

Es cierto compacto simplemente conectado orientada lisa de 4 colectores de que un real de 4 dimensiones del vector paquete está determinado por su Stiefel-Whitney y Pontrjagin clases?

No. Por ejemplo, la tangente paquete de $S^4$ es estable trivial (porque el exterior apuntando normal da una banalización de su paquete en $\mathbb{R}^5$; verdadero, más generalmente, de todos los ámbitos), pero no trivial (porque su Euler clase es trivial; true más generalmente de todos los ámbitos), por lo que su Stiefel-Whitney y Pontrjagin clases de desaparecer, pero no es isomorfo a un trivial paquete.