El número de formas de escribir $10$ como la suma de cinco números naturales no iguales a $3$

Question

¿Cuántas respuestas hay para la ecuación $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=10$$ dado que $x_1,x_2\dots x_5\in\Bbb{Z^{0+}}\setminus\{3\}$ .

Answer 1

El número de soluciones de la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 10$$ es el número de maneras en que se pueden insertar cuatro signos de adición en una fila de diez unos, que es $\binom{10 + 4}{4} = \binom{14}{4}$ . De ellas, debemos excluir aquellas soluciones en las que uno o varios de los números sean iguales a $3$ . Desde $3 \cdot 3 = 9 < 10 < 12 = 4 \cdot 3$ como máximo tres de los sumandos son iguales a $3$ .

Si uno de los sumandos es igual a $3$ entonces la suma de los cuatro sumandos restantes es igual a $10 - 3 = 7$ . El número de soluciones de la ecuación $$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 7$$ en los enteros no negativos es $\binom{7 + 3}{3} = \binom{10}{3}$ . Como hay cinco formas en que uno de los cinco sumandos puede ser igual a $3$ el número de soluciones en las que al menos un sumando es igual a $3$ est $\binom{5}{1}\binom{10}{3}$ .

Si dos de los sumandos son iguales a $3$ entonces la suma de los tres sumandos restantes es igual a $10 - 2 \cdot 3 = 4$ . El número de soluciones de la ecuación $$z_1 + z_2 + z_3 = 4$$ en los enteros no negativos es $\binom{4 + 2}{2} = \binom{6}{2}$ . Dado que hay $\binom{5}{2}$ formas en las que dos de los cinco sumandos pueden ser iguales $3$ el número de soluciones en las que al menos dos sumandos son iguales a $3$ est $\binom{5}{2}\binom{6}{2}$ .

Si tres de los sumandos son iguales a $3$ entonces la suma de los dos sumandos restantes es igual a $10 - 3 \cdot 3 = 1$ . El número de soluciones de la ecuación $$w_1 + w_2 = 1$$ en los enteros no negativos es $\binom{1 + 1}{1} = \binom{2}{1}$ . Dado que hay $\binom{5}{3}$ formas en las que tres de los cinco sumandos podrían ser iguales $3$ el número de soluciones en las que tres sumandos son iguales a $3$ est $\binom{5}{3}\binom{2}{1}$ .

Por el Principio de inclusión-exclusión el número de soluciones de la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 10$$ en el que ninguno de los sumandos es igual a $3$ est $$\binom{14}{4} - \binom{5}{1}\binom{10}{3} + \binom{5}{2}\binom{6}{2} - \binom{5}{3}\binom{2}{1} = 531$$

Answer 2

Suponiendo que se permiten ceros, se busca el coeficiente de $x^{10}$ en la expansión de $\left(\dfrac{1}{1-x} -x^3\right)^5$ que parece ser $531$ .

Answer 3

La función generadora del número de formas de sumar a $k$ con estos números es $$ \begin{align} &\left(\frac1{1-x}-x^3\right)^5\\ &=\frac1{(1-x)^5}-\frac{5x^3}{(1-x)^4}+\frac{10x^6}{(1-x)^3}-\frac{10x^9}{(1-x)^2}+\frac{5x^{12}}{1-x}-x^{15}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\left[\binom{k+4}{k}x^k-5\binom{k+3}{k}x^{k+3}+10\binom{k+2}{k}x^{k+6}\right]\\ &+\sum_{k=0}^\infty\left[-10\binom{k+1}{k}x^{k+9}+5\binom{k}{k}x^{k+12}-\binom{k-1}{k}x^{k+15}\right]\\[3pt] &\small=\sum_{k=0}^\infty\left[\binom{k+4}{k}-5\binom{k}{k-3}+10\binom{k-4}{k-6}-10\binom{k-8}{k-9}+5\binom{k-12}{k-12}-\binom{k-16}{k-15}\right]x^k \end{align} $$ Así, el número de formas de resolver $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=k$ donde cada $x_j$ es un número entero no negativo no igual a $3$ est $$ \small\binom{k+4}{k}-5\binom{k}{k-3}+10\binom{k-4}{k-6}-10\binom{k-8}{k-9}+5\binom{k-12}{k-12}-\binom{k-16}{k-15} $$ Configurar $k=10$ da $$ \binom{14}{10}-5\binom{10}{7}+10\binom{6}{4}-10\binom{2}{1}=531 $$ Obsérvese que el penúltimo término es $0$ para $k\lt12$ y el último término es $0$ para $k\ne15$ .

Answer 4

Soluciones de recuento para $x_1+\cdots+x_k=n$ con números enteros $x_1,\cdots,x_k\ge0$ se conoce como estrellas y barras Para más información, consulte el enlace. La fórmula es $\left( \! \binom{k}{n} \! \right) :=\binom{n+k-1}{n}$ (que equivale a $\binom{n+k-1}{k-1}$ ).

Ahora invoca el principio de inclusión-exclusión .

$$ $$

Answer 5

Como señala @Henry, la respuesta es el coeficiente de $x^{10}$ en $f(x)=[(1-x)^{-1}-x^3]^5$ .

El resultado numérico puede obtenerse por métodos de lápiz y papel, como se indica a continuación. En primer lugar hay que expandir $f(x)$ por el teorema del binomio: $$f(x) = (1-x)^{-5}-5(1-x)^{-4}x^3+10 (1-x)^{-3}x^6 -10 (1-x)^{-2}x^9 +5 (1-x)^{-1}x^{12}-x^{15}$$ De nuevo por el Teorema del Binomio, $(1-x)^{-n} = \sum_{i=0}^{\infty}\binom{n+i-1}{i} x^i$ por lo que podemos elegir los coeficientes de $x^{10}$ en la expansión de $f(x)$ : $$[x^{10}]f(x)=\binom{5+10-1}{10}-5\binom{4+7-1}{7}+10\binom{3+4-1}{4}-10\binom{2+1-1}{1}=531$$

(No es que tenga nada en contra del uso de un CAS, pero es bueno saber cuándo no se necesita un ordenador. Aunque he hecho un poco de trampa y he utilizado una hoja de cálculo para hacer la aritmética).