Ideales en enteros gaussianos

Question

Dejemos que $R:=\mathbb{Z}[i]$ . Demostrar que todo ideal primo no nulo $\mathfrak{P}$ de $R$ pertenece a una de las siguientes familias:

1. $\mathfrak{P}=(1+i)R$

2. $\mathfrak{P}=(a+bi)R$ donde $a,b\in\mathbb{Z}$ y $a^2+b^2$ es un primo impar $p$ que es congruente con $1$ modulo $4$

3. $\mathfrak{P}=pR$ donde $p$ es un primo impar que es congruente con $3$ modulo $4$ .

Sugerencia : en el caso 3), dejemos que $\alpha\in R$ se escriba como $c+id$ con $c,d\in\mathbb{Z}$ y supongamos $\alpha\notin\mathfrak{P}$ . Considere $\alpha\overline{\alpha}=c^2+d^2$ ; demostrar que $p$ no divide $c^2+d^2$ para que exista un número entero $e$ tal que $(c^2+d^2)e=1\bmod p$ . Concluir que $\alpha\cdot\overline{\alpha}e=1\bmod\mathfrak{P}$ .

No puedo entender las pistas que me dan. He comprobado que $p$ no divide $c^2+d^2$ De hecho $p=3\bmod 4$ implica que $p$ también es un primo de Gauss, por lo que si divide a $c^2+d^2=(c+di)(c-di)$ entonces debería dividir uno de los dos factores, lo cual es imposible.

Por lo tanto, al ser $p$ un primo racional, que no divide $c^2+d^2$ debe ser coprima de $c^2+d^2$ para que exista $e$ de manera que, etc., etc.

¿Y ahora? He demostrado que $\alpha$ es invertible módulo $\mathfrak{P}$ . ¿Cómo puedo usar esto?

Answer 1

La definición de un ideal primo $P \subset R$ es que para cualquier $x,y \in R$ tal que $xy \in P$ o bien $x \in P$ o $y \in P$ (o ambos).

En su caso, deje que $x,y \in R$ sea tal que $xy \in P$ . Supongamos, por si acaso, que ninguno de los dos $x\in P$ ni $y \in P $ . Entonces ambos $x$ y $y$ son invertibles mod $P$ (como ya has demostrado) y, por tanto, ¡también lo es su producto! Así que su producto no puede estar en $P$ (implicaría $1 \in P$ ) a menos que $P=R$ lo cual es claramente imposible.