Lanzar una moneda - valor esperado de la cola

Question

Hay $10$ monedas: $8$ de ellas son justas (igual probabilidad para cara y cruz) y para $2$ La probabilidad de que salga cara es dos veces mayor que la de que salga cruz (por lo que $\frac{2}{3}$ para las cabezas). Sacamos una moneda y la lanzamos tres veces. Sea $X$ denotan un número de colas - necesito encontrar un $\Bbb EX$ . Así que:

$\Bbb P(X = k) = \Bbb P(X = k| \text{fair coin} ) \cdot \Bbb P(\text{fair coin}) + \Bbb P(X = k| \text{unfair coin} )  \cdot \Bbb P(\text{unfair coin})$

Con

$\Bbb P(X = k| \text{fair coin} )={3 \choose k} (\frac{1}{2})^k(\frac{1}{2})^{3-k}$

$\Bbb P(\text{fair coin}) = \frac{8}{10} $

$\Bbb P(X = k| \text{unfair coin} )={3 \choose k} (\frac{1}{3})^k(\frac{2}{3})^{3-k} $ 

$\Bbb P(\text{unfair coin})= \frac{2}{10} $

Así que

$\Bbb P(X = k) = {3 \choose k} (\frac{1}{2})^k(\frac{1}{2})^{3-k} \cdot \frac{4}{5} + {3 \choose k} (\frac{1}{3})^k(\frac{2}{3})^{3-k}\cdot \frac{1 }{5} $

Y luego, obviamente $\Bbb EX = \sum\limits_{i=0}^3 i\cdot \Bbb P(X=i)$

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sabes que la expectativa de una binomial es $\mu=np$ así tienes

$$E(X)=\frac{8}{10}\times 3 \times \frac{1}{2}+\frac{2}{10}\times 3 \times \frac{1}{3}=\frac{14}{10}$$

---

este sencillo método funciona ya que tu pmf es una mezcla de dos pmf

$$p_X(x)=0.8p_{X_1}(x)+0.2p_{X_2}(x)$$