El grupo p finito contiene subgrupos normales $H_i$ , $|H_i| = p^i$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito de orden $p^n$ , donde $p$ es primo. Demostrar que $G$ contiene subgrupos normales $H_i$ para $1 \leq H_i \leq n$ tal que $|H_i| = p^i$ y $H_i < H_{i+1}$ para $1 \leq i < n$ .

Utilizando la inducción:

$k = 0$ : $p^0$ es un subgrupo normal de $G$ , el trivial $\{e\}$ .

$k = i $ : Suponemos que $G$ tiene un subgrupo normal $H_i$ de orden $p^i$ para algunos $i < n$ .

$k = i + 1$ : Existe un subgrupo normal $\tilde{H}$ de orden $p$ en $Z[G/H_i]$ ( Argumento N0. $1$ )

Así, $H_{i + 1} = \gamma^{-1}[\tilde{H}]$ (donde $\gamma$ : homomorfismo normal) es un subgrupo normal de $G$ con orden $p^{i+1}$ ( Argumento nº. $2$ )

Pregunta:

Sería muy útil ver una elaboración de Arg. $1$ y Arg. $2$ .

Por qué $Z[G/H_i]$ tiene un subgrupo normal de orden $p$ y por qué la imagen inversa de este subgrupo da el subgrupo normal requerido de orden $p^{i+1}$ ?

Answer 1

$p-$ Grupos (grupos $G$ de orden $p^n$ ) tienen centro no trivial, esto se deduce de la ecuación de clase, $$ |G|=Z(G)+\sum_{distinct}(| \text{Orb}_G(x)|) $$

Dónde, $\text{Orb}_G(x)=\{ gxg^{-1} | g \in G \}$ con $ x\notin Z(G)$ y $(|\text{Orb}_G(x)|)=|G|/|\text{C}_{G}(x)|$ (Por el teorema del estabilizador de la órbita)

$x \in Z(G) \text{ iff } 1=|\text{Orb}_G(x)|$

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Desde $Z(G/H_i)$ es $p-$ grupo con orden inferior a $G$ y mayor que $1$ por lo que podemos utilizar la hipótesis de inducción (o teorema de Cauchy) para inferir que $Z(G/H_i)$ tiene un subgrupo $\overline{H_1}$ de oreder $p$ , lo que es normal en $G/H_i$

Ahora considere , $f: G \to G/H_i$ sea un homomorfismo de grupo natural, entonces el pullback $f^{-1}(\overline{H_1})$ es un subgrupo normal de $G$ de orden $p^{i+1}$ que contiene $H_i=\text{Ker}(f)$ . (Teorema de correspondencia entre grupos).

Answer 2

Estás usando la inducción en el primer argumento. Si $H\neq1$ entonces $|G/H|<|G|$ . Suponiendo que la afirmación es válida para grupos de orden inferior a $p^n$ es válida para $G/H$ y así se obtiene la existencia de un subgrupo normal de orden $p$ del cociente.

A continuación, si $h\in\gamma^{-1}(\tilde{H})$ y $g\in G$ entonces $\gamma(ghg^{-1})=\gamma(g)\gamma(h)\gamma(g)^{-1}\in \tilde{H}$ ya que $\tilde{H}$ es normal. Esto demuestra que $ghg^{-1}\in H_{i+1}$ . Finalmente, $|\tilde{H}|=|H_{i+1}/H_i|=|H_{i+1}|/|H_i|$ de la que se obtiene $|H_{i+1}|=|\tilde{H}||H_i|=p^{i+1}$ .