En la teoría de modelos y en la teoría de categorías, a menudo necesitamos "ampliar" nuestro universo (sea lo que sea que eso signifique) para que nuestras clases propias se vuelvan "pequeñas" y podamos así manipularlas de maneras más sofisticadas. Me imagino que la lógica modal ofrece una explicación elegante de este tipo de cosas. ¿Se ha hecho algún trabajo en este sentido?
Respuestas
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Adam Bjorndahl
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La lógica modal del forzamiento (J. D. Hamkins y B. Löwe) puede ser el lugar adecuado para buscar.
Tim Howland
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Como menciona Adam, mi trabajo con Benedikt Löwe sobre la La lógica modal del forzamiento se refiere a la modalidad $\square\varphi$ lo que significa que $\varphi$ se mantiene en todas las extensiones forzadas, y la modalidad correspondiente $\Diamond\varphi$ lo que significa que $\varphi$ se mantiene en alguna extensión forzada. Es notable, en mi opinión, que estas modalidades teóricas de conjuntos sean realmente expresables en el lenguaje habitual de la teoría de conjuntos. El resultado es que lo que podría considerarse cuestiones filosóficas sobre la naturaleza del universo teórico de conjuntos se convierte en cuestiones puramente matemáticas o teóricas de conjuntos a las que podemos responder de forma puramente matemática.
En particular, el lenguaje de la modalidad de forzamiento nos permite expresar una serie de axiomas o principios de forzamiento teóricos de conjuntos bastante interesantes. El Principio de maximalidad por ejemplo, es la afirmación $$\Diamond\square\varphi\to\square\varphi$$ que cada declaración $\varphi$ que pueda ser forzada de tal manera que siga siendo cierta en todas las extensiones forzadas posteriores ya es cierta y verdadera en todas las extensiones forzadas. Se puede investigar este principio cuando se restringe a varias clases de forzamiento, y por ejemplo El principio de maximalidad necesario para el forzamiento del c.c.c. es equiconsistente con un cardinal débilmente compacto .
Mientras tanto, hay otras modalidades naturales a considerar en la teoría de conjuntos. Solovay, por ejemplo, investigó tanto la modalidad "verdadero en todos los modelos transitivos de ZF" como la modalidad "verdadero en $V_\kappa$ para un número ilimitado de cardenales inaccesibles $\kappa$ y ese trabajo fue ampliado por Enayat y Togha.
En cuanto a la teoría de las categorías, que mencionas, creo que la interpretación de Solovay tiene mucha afinidad con el uso teórico de las categorías del axioma del universo de Grothendieck.
