Demostrar que $2005$ devides $55555\dots$ con 800 5's

Question

Estoy tratando de demostrar que $2005$ divide $55555\dots$ ( con 800 5's ). Esto se reduce básicamente a demostrar que $401$ que es un primo, divide a $1111\dots$ (con 800 1's) .

Sé que esto gira en torno al pequeño teorema de Fermat pero no consigo entenderlo. ¿Sería tan amable de darme una pista sobre cómo resolverlo?

Answer 1

$$\underbrace{55\cdots55}_{800\ 5\text{'s}}=5\cdot\dfrac{10^{800}-1}{10-1}$$

Ahora bien, está claro que esto es divisible por $5$ como $(5,10-1)=1$

Como $401$ es primo y $(10,401)=1$ por el Pequeño Teorema de Fermat $10^{400}\equiv1\pmod{401}$

$\implies401$ divide $10^{800}-1=(10^{400}-1)(10^{400}+1)$

Como $(10-1,401)=1,401$ dividirá $$\dfrac{10^{800}-1}{10-1}$$