En mi curso de geometría diferencial el profesor ha definido la curvatura gaussiana como el determinante del operador de forma, $$K=\det(S(p))$$ Sin embargo, la mayoría de los libros que he seguido lo definen como el producto de las curvaturas principales, $$K=\kappa_1\kappa_2$$ Creo que se trata de definiciones equivalentes, pero he tenido dificultades para demostrar este hecho, y agradecería mucho si alguien pudiera aportar una prueba de ello.
Respuesta
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Esto es sólo un hecho de álgebra lineal.
Se sabe que el operador de forma es simétrico, así que por el teorema espectral tiene valores propios reales, por lo que existe una base ortogonal en la que este operador tiene una matriz diagonal, y el determinante de una matriz diagonal es fácil de calcular.
Por supuesto, la validez de mi "prueba" depende de cómo se definan las curvaturas principales, pero aquí me baso en el tratamiento dado en el libro de Theodore Shifrin "Geometría Diferencial. A first Course in Curves and Surfaces", donde se puede encontrar una exposición muy accesible.
