Resolver la ecuación: $x^3 + y^3 + z^3 = 2011$ en números enteros.
Estoy tratando de resolver problemas que no pude en el concurso en sí mismo, pero estoy totalmente atascado.
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sq1020
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Creo que la aparición de $9$ en Gerry de la respuesta puede ser explicado a través de un parte de Hensel del Lexema.
Dado que al menos uno de los comentaristas en Vadiklk la cuestión parecen ser sólo el aprendizaje acerca de la aritmética modular, voy a comentar brevemente algunas de las anotaciones antes de que indica el lema. Si $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$, entonces el (formal) derivado de la $f$ es denotado $f'$ y dado por $f'(x)=a_nnx^{n-1}+a_{n-1}(n-1)x^{n-2}+\dots+a_22x^1+a_1$, y para cualesquiera dos enteros $b$ $a$ nos dicen que $b\equiv a^{-1}\mod p$ si $ba\equiv1\mod p$.
Hensel el Lema:
Deje $f(x)$ ser una sola variable polinomio con coeficientes enteros. Deje $p^k\neq 1$ ser algunos no trivial de potencia principal, y supongamos que tenemos un número entero $r$ que es una solución a $f(r)\equiv 0\mod p^k$. Entonces el conjunto de soluciones a $f(x)\equiv 0\mod p^{k+1}$ puede ser calculado como:
- Si $f'(r)\not\equiv0\mod p$, entonces la única solución es $x=r+tp^k$ donde$t\equiv-(\frac{f(r)}{p^k})f'(r)^{-1}\mod p$$0\leq t<p$.
- Si $f'(r)\equiv0\mod p$$f(r)\equiv 0\mod p^k$, ninguna de las $x\equiv r\mod p^{k-1}$ ( $x=r+tp^k$ $0\leq t<p$ ) es una solución.
- Si $f'(r)\equiv 0\mod p$$f(r)\not\equiv0\mod p^k$, entonces no hay soluciones.
(Si usted está aprendiendo acerca de la aritmética modular, demostrando Hensel del Lexema es un gran ejercicio para conseguir su cabeza alrededor de este material.)
Observe que en los casos 1. y 2. tenemos que $f'(r)=f'(x)\mod p$ (desde $x=r+tp^k$ implica que el $x\equiv r\mod p$). Por lo tanto:
- $f(x)$ definitivamente tiene una raíz entera si $f'(r)\not\equiv 0\mod p$ $f(r)\equiv 0\mod p$ para algunos entero $r$ y prime $p$.
- $f(x)$ puede tener una raíz si $f'(r)\equiv0\mod p$ para algunos entero $r$ y prime $p$.
En otras palabras, si $f'(r)\not\equiv0\mod p$, la no existencia de soluciones de $\mod p^k$ no implica la no existencia de soluciones de $\mod p^{k+1}$. Por lo tanto, si deseamos determinar sistemáticamente si $f(x)$ ha entero de soluciones, debemos encontrar un primer $p$ para los que existe un entero $r$ tal que $f'(r)\equiv 0\mod p$, y luego construir soluciones de $\mod p^k$ hasta que no puede (no soluciones) o $p^k$ es lo suficientemente grande (ya que sería computing $f(r)$ y la reducción de la $\mod p^k$, de todos modos, lo suficientemente grande significa que el %de$f(r)=0$y hemos encontrado una raíz).
Por supuesto, no siempre es posible encontrar un primer $p$ tal que $f'(r)\equiv 0\mod p$ algunos $r$, que es la razón por la determinación de si se entero de que existen soluciones es en general difícil.
Aplicando esto a nuestra ecuación de $x^3+y^3+z^3=2011$, se puede definir para cualquier enteros $y$ $z$ polinomios $f_{y,z}(x)=x^3+(y^3+z^3-2011)$. Nuestra ecuación tiene un número entero solución si y sólo si uno de los polinomios $f_{y,z}$ tiene una solución.
Afortunadamente, podemos ver que $f'_{y,z}=3x^2$ no depende de $y$ o $z$, lo que para cualquier primer y cualquier entero $r$ $f'_{y,z}(r)\equiv0$ si y sólo si $3r^2\equiv0\mod p$.
Sin embargo, con el fin de determinar de manera simultánea (con la anterior) que de los polinomios $f_{y,z}$ han entero soluciones, necesitamos $f'_{y,z}(r)\equiv 0\mod p$ por cada $r$ tal que $f_{y,z}(r)\equiv 0\mod p$. Desde $y$ $z$ son arbitrarias, esto significa que tenemos $f'_{y,z}(r)\equiv 0\mod p$ por cada $r$, que, desde el $f'_{y,z}(x)=3x^2$ implica que sólo puede ser la comprobación de $p=3$.
Por lo tanto, si la solución a $x^3+y^3+z^3=2011$ no existe, este es detectado por el más pequeño de $3^k$ para que una solución no existe. El primero de ellos pasa a ser $9$.
Más en general, de cómo separar las obras sobre el campo finito, lo anterior será exactamente cierto para los $p$ en que se divide el mcd de los poderes de la $x$ que aparecen en la ecuación (si la ecuación no es simétrica, también podemos ver el mcd de los poderes de $y$ y de los poderes de la $z$ y ver los números primos).
