Si $y^y=x$ , puede $y$ expresarse en función de $x$ ?

Question

Si $y^y=x$ ¿se puede expresar y en función de x? En concreto, estoy encontrando la solución de una EDP donde la solución más general es $u=t^{-\frac{1}{2}} f(x,t)$ y $$\LARGE f^f=Ce^{\frac{-x}{2\sqrt{t}}} $$ Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Si $x=y^y$ , toma $\log$ de ambas partes para conseguirlo: $y\log y=(\log y)e^{\log y} = \log x$ y por lo tanto $\log y = W(\log x)$ y por lo tanto $y=e^{W(\log x)}$ , donde $W(z)$ es el Función Lambert-W satisfaciendo $W(z)e^{W(z)}=z$ .