¿Qué significa hablar de los "representantes irreducibles de SO(3)"? Me cuesta entender el concepto de representaciones irreducibles. Alguien podría dar un ejemplo concreto para alguien que no esté familiarizado con la teoría de grupos o la teoría de representaciones?
A representación del grupo $G$ significa un homomorfismo de $G$ en el grupo de automorfismos de un espacio vectorial $\mathbf{V}$ . Esencialmente, usted está tratando de interpretar cada elemento de $G$ como una transformación lineal invertible $\mathbf{V}\to\mathbf{V}$ para intentar comprender al grupo $G$ por cómo "actúa sobre $\mathbf{V}$ ."
Si tiene una acción $\rho_1$ de $G$ en un espacio vectorial $\mathbf{W}$ (es decir, una representación), y tiene alguna otros acción $\rho_2$ de $G$ sur otro espacio vectorial $\mathbf{Z}$ (otra representación), entonces puede utilizar estas dos acciones para construir una acción de $G$ en el espacio vectorial $\mathbf{W}\oplus\mathbf{Z}$ : sólo deja que $G$ actuar sobre la primera coordenada utilizando la antigua acción sobre $\mathbf{W}$ y que actúe sobre la segunda coordenada utilizando la antigua acción sobre $\mathbf{Z}$ .
Sin embargo, hay que tener en cuenta que la acción del $G$ sur $\mathbf{W}\oplus \mathbf{Z}$ definida de esta manera no da nuevo de la estructura de la $G$ cualquier cosa que pueda averiguar sobre $G$ de esta acción, puede aprender sobre $G$ considerando las acciones originales $\rho_1$ y $\rho_2$ . Así que esta nueva acción no nos aporta nada nuevo.
Por el contrario, supongamos que tenemos una representación $\rho$ con $G$ actuando sobre $\mathbf{V}$ y que existen subespacios propios $\mathbf{W}$ y $\mathbf{Z}$ de $\mathbf{V}$ que cumplan las siguientes propiedades:
A continuación, puede consultar el restricción de la acción de $G$ sur $\mathbf{W}$ para obtener una representación, y la restricción sobre $\mathbf{Z}$ para obtener otra representación; y estas dos representaciones te darán toda la información de la representación original, de la misma forma que teníamos antes. La ventaja es que como $\mathbf{W}$ y $\mathbf{Z}$ son subespacios propios de $\mathbf{V}$ tienen menor dimensión y, presumiblemente, es más fácil comprender un subgrupo de automorfismos lineales para ellos que para $\mathbf{V}$ .
Así que la moraleja es que queremos encontrar representaciones que no puedan "descomponerse" en otras más pequeñas, porque no tiene sentido intentar comprender las que do podemos centrar nuestra atención en las que no se rompen, porque todas las demás representaciones se pueden construir en función de las que no se pueden romper.
En representaciones irreducibles son precisamente los que no pueden dividirse en trozos más pequeños (al menos para grupos finitos). El Teorema de Maschke dice que si se tiene una representación $\rho$ de un grupo finito $G$ actuando sobre $\mathbf{V}$ y $\mathbf{W}$ es un subespacio de $\mathbf{V}$ tal que para todo $g\in G$ la imagen de $\mathbf{W}$ bajo la acción de $g$ es $\mathbf{W}$ entonces se puede encontrar un subespacio $\mathbf{Z}$ de $\mathbf{V}$ tal que $\mathbf{V}=\mathbf{W}\oplus\mathbf{Z}$ y cada $g\in G$ mapas $\mathbf{Z}$ a sí mismo (es decir, para romper $\rho$ en dos piezas más pequeñas, basta con encontrar una sola pieza adecuada en la que $\rho$ actúa; entonces se le puede encontrar un complemento).
Con esto en mente, decimos:
Sea $\rho\colon G\to \mathrm{Aut}(\mathbf{V})$ sea una representación de $G$ . Decimos que $\rho$ es irreducible sólo si $\mathbf{V}$ no es el espacio vectorial cero, y los únicos subespacios de $\mathbf{V}$ que se asignan a sí mismos bajo la acción de cada $g\in G$ son $\{\mathbf{0}\}$ y $\mathbf{V}$ sí mismo.
Una representación irreducible de $SO(3)$ será una representación de $SO(3)$ que es irreducible. $SO(3)$ actúa de forma natural en el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ consiste en todos los automorfismos de $\mathbb{R}^3$ que respetan el producto interior, por lo que ésta es a su vez una representación de $SO(3)$ (que es irreducible, porque ningún subespacio propio de $\mathbb{R}^3$ se envía a sí mismo mediante todos elementos de $SO(3)$ ).
(El teorema de Maschke se cumple si el espacio vectorial es sobre un campo de característica $0$ o si la característica no divide el orden del grupo; existen teoremas similares para ciertos tipos de grupos infinitos, pero no se cumple para grupos infinitos arbitrarios en general).
Bonito. Así que si consideramos un $3$ -espacio vectorial euclidiano dim. $V$ y que $\rho\colon\text{SO}(3)\to\text{Aut}(V)$ sea simplemente el mapa de inclusión, obtenemos una representación irreducible, porque no existe ningún subespacio vectorial unidimensional o bidimensional $U\subset V$ (sin línea ni plano) s.t. $A(U)=U$ para todos $A\in\text{SO}(3)$ . ¿Verdad?
Si $\rho:G\to{\rm GL}_n(\mathbb{C})$ es una representación compleja de dimensión finita del grupo $G$ entonces $\rho$ es irreducible siempre que $\rho(G)(V)\subseteq V$ entonces $V=\mathbb{C}^n \text{ or } 0$ (no hay subespacios no triviales de $\mathbb{C}^n$ invariante izquierda por $\rho(G)$ ).
he aquí un ejemplo "visual". la representación real de ${\rm SO}_3(\mathbb{R})$ (los elementos que actúan sobre $\mathbb{R}^3$ por rotaciones alrededor del origen) es irreducible (no hay ninguna línea o plano en $\mathbb{R}^3$ que es invariante bajo todos rotaciones).
Hmm... esto es útil, pero todavía estoy confuso. De mi lectura me da la sensación de que una representación irreducible es una matriz (en el caso de SO(3) al menos, aunque parece que en general siempre son tensores), ¿es esto correcto? Si es así, ¿qué hace que las representaciones irreducibles (o los representantes irreducibles) sean especiales en comparación con otras matrices? Por ejemplo, cualquier miembro de SO(3) puede ser representado por una matriz 3x3 de determinante igual a 1. ¿Son suficientes estas condiciones para decir que cualquier matriz que las cumpla es una representación irreducible de SO(3)?
@okj: Una representación irreducible es un mapa del grupo a un grupo de matrices; bajo la representación (bajo el mapa), cada elemento del grupo se asignará a una matriz. Se puede pensar en una representación irreducible como una forma de asignar a cada elemento del grupo (en este caso, SO(3)), una matriz particular (transformación lineal). La irreducibilidad se refiere a todo el mapa, no a una matriz específica asignada a un elemento específico. (Lo que puede estar ayudando a confundirte es que una representación es un mapa que envía elementos a mapas pensando en las matrices como mapas)
@Arturo Magidin: Ok, dime si lo he entendido bien. Una representación de SO(3) es un mapa que toma una rotación en $R^3$ y le da una matriz. Si quisiera, teóricamente podría definir un mapa que tomara SO(3) y lo representara con matrices de 10x10 (presumiblemente podría ser una matriz de 10x10 cuyo bloque superior izquierdo de 3x3 tuviera determinante 1, es decir, nuestra representación matricial estándar para SO(3), y ceros en el resto). Aunque podría ser una representación fiel de SO(3), no es irreducible, porque puedo encontrar una línea o un plano en $R^{10}$ que es invariante bajo todas mis matrices 10x10.
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¿Quiere decir "representación irreducible" (como en su título) o "representación irreducible"? tivo "(como en el cuerpo de su pregunta)?
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@Arturo Magidin: Supongo que me refiero a las dos cosas, ya que no tengo clara la distinción.
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No puedes referirte a ambas cosas. Una "representación" de un grupo es un tipo especial de homomorfismo cuyo dominio es el grupo. Un "representante" de un grupo sería un elemento del grupo (bajo algún tipo de relación de equivalencia). Hay una definición muy estándar y clara de "representación irreducible" para cualquier grupo, y no creo que la haya para "representante irreducible" en general (aunque, por lo que sé, puede que la haya para elementos de SO(3)).