Transformada de Fourier de la ecuación del calor

Question

Necesito resolver la siguiente ecuación diferencial parcial con transformada de Fourier numéricamente.

$ \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla(c\nabla T) $

donde T es la temperatura, c la conductividad térmica y t el tiempo.

Ahora el problema es que c tiene dependencia del espacio. Si no hubiera sido después de la ecuación de la transformada de Fourier se vería como $ \frac{\partial \tilde T}{\partial t} = -k^2c\tilde T $

¿Cómo debería ser la transformada de Fourier de la primera ecuación?

Lo que estoy haciendo es lo siguiente:

1. Tomar la transformada de Fourier de T. Multiplicar los valores correspondientes de c (en el espacio real) y T (en el espacio de Fourier), es decir, evaluar $g = k\cdot i \cdot c \cdot\tilde T$

2. Toma $g$ de vuelta al espacio real. Ahora $g = c\nabla T$

3. Toma $g$ de vuelta al espacio de Fourier . Evaular $f = k \cdot i \cdot \tilde g$

4. Toma $f$ al espacio real. Ahora $f$ debe ser $\nabla c \nabla T$

Pero los resultados del procedimiento anterior no coinciden con el enfoque de diferencias finitas. ¿Qué me falta aquí? El uso del teorema de convolución parece difícil. ¿Es el teorema de convolución la única opción?

Gracias por cualquier ayuda de antemano

Answer 1

No estoy seguro de por qué no puedo comentar debajo de tu pregunta, así que voy a publicar un comentario aquí: La transformada de fourier será una convolución, que es un poco desagradable para trabajar, es decir, se obtiene eso:

$$\mathcal{F}(c T) = \mathcal{F}(c) \star \mathcal{F}(T)$$

Aquí $\mathcal{F}(f) = $ Transformada de Fourier de $f$ . Tenga en cuenta que

$$ \mathcal{F}(c) \star \mathcal{F}(T) (s) = \int_{\infty}^{\infty} \mathcal{F}(c)(s - t) \mathcal{F}(T) (t) dt$$

Esto acoplará todos los modos de Fourier. En mi humilde opinión, la transformada de Fourier va a ser un poco desagradable numéricamente, aunque tal vez sea factible. Por desgracia, no puedo sugerir otra alternativa.

Answer 2

Para evaluar $\nabla(c\nabla T)$ en el espacio de Fourier, tienes que hacer lo siguiente. Supongamos que nos dan $\hat T$ que es la imagen de Fourier de $T$ .

1. Calcula $\hat g(k)=ik\hat T(k)$ . Esto corresponde al gradiente del espacio real.
2. $g= \mathrm{IFT}\,\hat g$ la transformada inversa de Fourier.
3. $f=cg$ .
4. $\hat f = \mathrm{FT}\,f$ la transformada de Fourier.
5. Calcula $\hat r(k)=ik\cdot\hat f(k)$ . Obsérvese el producto escalar. Esto corresponde a la divergencia en el espacio real.
6. $r= \mathrm{IFT}\,\hat r$ la transformada inversa de Fourier.

Ahora tienes $r = \nabla\cdot(c\nabla T)$ . Creo que en la práctica, no se necesita el paso 6, porque el lado izquierdo $\partial T/\partial t$ puede calcularse en el espacio de Fourier directamente a partir de $\hat T$ . También puedes escribir todos los pasos en una fórmula $$ \frac{\partial\hat T}{\partial t} = ik\cdot\mathrm{FT} (c\cdot\mathrm{IFT}(ik\hat{T})). $$