Conseguir la ( $hkl$ ) Índices de Miller a partir del ángulo de incidencia de un rayo de luz

Question

Esta semana me han dado un laboratorio de difracción de rayos X. Medimos la tasa de recuento para diferentes ángulos $2\theta$ de la rotación del detector. A partir de estas mediciones, trazamos un gráfico de 2theta frente a la tasa de recuento y dedujimos los picos. A partir de ahí pudimos calcular el espaciado interplanar $d$ utilizando la ley de Bragg. Aquí es donde estoy atascado: A partir de los valores calculados de $d$ Sé que tengo que usar la ecuación

$$d=\frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$$

para encontrar la constante de red $a$ pero, ¿cómo puedo encontrar el ( $hkl$ ).

La muestra utilizada fue NaCl, con una celda unitaria cúbica centrada en la cara.

Answer 1

Para un entramado de Bravais dado hay que encontrar los índices para los que el factor de estructura $S_{hkl}$ no se desvanece. Para las redes cúbicas es en realidad bastante sencillo (por ejemplo, para las hexagonales puede ser ya muy complicado), sabiendo que el NaCl tiene una estructura fcc, conocemos entonces las posiciones atómicas en una celda unidad:

Na $\rightarrow$ $[0,0,0]$ , $[1/2,1/2,0]$ , $[1/2,0,1/2]$ , $[0,1/2,1/2]$ y Cl $\rightarrow$ $[1/2,1/2,1/2]$ , $[0,0,1/2]$ , $[0,1/2,0]$ , $[0,0,1/2].$

A continuación necesitamos la expresión del factor de estructura para las redes ortogonales ( $f_i$ es el factor de forma del átomo $i,$ que contiene información sobre la identidad química del átomo):

$$ S_{\rm hkl} = \sum_{\rm atom\, i \in unit-cell} f_i \exp[2\pi i(hx_i + ky_i + lz_i)] $$ Ahora sólo hay que sustituir las coordenadas atómicas una por una en $S_{hkl}$ y haz la suma que debería darte:

$$ S_{hkl} = \left(f_{Na}+f_{Cl}e^{\pi i(h+k+l)}\right) \left(1+e^{\pi i(h+k)}+e^{\pi i(h+l)}+e^{\pi i(k+l)}\right) $$ Ya casi está hecho, sólo hay que probar algunos ejemplos de $khl$ y ver para cuáles el factor de estructura no llega a cero (proceso fácil debido a la forma simplificada del 2º término del producto en $S$ ). Ahora puedes comprobar por ti mismo que para cualquier conjunto de índices mixtos (es decir, índices pares e Impares juntos) $S \to 0,$ Por ejemplo $S_{100}=0.$ A continuación probamos todos los índices pares y todos los índices Impares, y encontramos que $S$ es distinto de cero en ambos casos. Así que ya tienes tu receta para determinar qué $hkl$ son válidos para una estructura fcc: $111, 200, 220, 311,...$

Este tipo de tratamientos están cubiertos en la mayoría de los libros básicos de estado sólido, definitivamente te animo a leer sobre estas cosas más formalmente.