¿Qué colímites conmutan con qué límites en la categoría de conjuntos?

Question

Dadas dos categorías $I$ y $J$ decimos que colimes de la forma $I$ conmutar con los límites de la forma $J$ en la categoría de conjuntos, si para cualquier functor $F : I \times J \to \text{Set}$ el mapa canónico $$\textrm{colim}_{i\in I} \text{lim}_{j\in J} F(i,j) \to \textrm{lim}_{j\in J} \text{colim}_{i\in I} F(i,j)$$ es un isomorfismo.

Los ejemplos estándar son: a) los colímites filtrados conmutan con límites finitos y b) los colímites tamizados conmutan con productos finitos. (Estas afirmaciones pueden considerarse definiciones de las categorías $I$ se filtran o tamizan respectivamente, pero ambos términos tienen definiciones independientes para las que estos resultados de conmutación son proposiciones). Un tercer ejemplo, menos conocido, es tomar $I$ un grupo finito y $J$ una categoría cofiltrada, es decir, si $G$ es un grupo finito y $X_j$ es un sistema inverso de $G$ -entonces el mapa canónico $$(\varprojlim_{j\in J} X_j)/G \to \varprojlim_{j \in J}(X_j/G)$$ es un isomorfismo.

Ahora bien, todos estos ejemplos son fáciles de demostrar por separado ( aquí es una prueba de la $G$ -set result, por ejemplo) pero no veo ningún patrón unificador. ¿Existe un criterio sencillo para saber cuándo $I$ -colimita y $J$ -¿los límites conmutan en la categoría de conjuntos?

[Nota: Es cierto que $I$ es filtrada (resp. tamizada) si y sólo si para todo finito (resp. finito discreto) $J$ el functor diagonal $I \to I^J$ es definitiva; pero no creo que por arbitrariedad $I$ y $J$ si la diagonal $I \to I^J$ es definitivo, entonces $I$ -colimita el viaje con $J$ -límites. Si me equivoco y esa condición en la diagonal es realmente suficiente para la conmutación: ¿por qué? y ¿es también necesaria?]

Answer 1

Siento haber tardado tanto en reaccionar, sólo me enteré de esta discusión por un colega mío recientemente.. Llevo varios años trabajando en casi todas las preguntas anteriores en el contexto de mi tesis que se presentará en un futuro muy próximo. Con respecto a la primera pregunta: Que $I$ -Los límites conmutan con $J$ -en el conjunto implica que el functor diagonal $J \to J^I$ es definitiva, es un hecho necesario que sólo es/es suficiente cuando $I$ es una de las llamadas clases de "índice límite", pero no en general. En mi tesis sugiero que definamos $J$ para ser $I$ -filtrado cuando el functor diagonal $J \to J^I$ es definitivo en lugar de cuando $I$ -Los límites conmutan con $J$ -colimes en conjunto (para mantener las interpretaciones diagramáticas).

De hecho, aunque las doctrinas sólidas son fáciles de trabajar, están incluidas en un "tipo de doctrinas" (casi igual de agradable) ligeramente mayor (incluyendo "pullbacks+objetos terminales"), a saber, aquellas clases de índice "esencialmente cerradas" en la correspondencia de Galois entre las clases de "índice límite" y las clases de "índice colímite" que conmutan en el conjunto. En mi tesis doy una imagen completa de estas clases y con ello "desciframos" las condiciones abstractas de F. Foltz. ¡Siento no tener todavía versiones bonitas y cortas de mi trabajo para poner aquí, ni un artículo listo para referirse a él, pero estoy encantado de discutir o responder a cualquier pregunta relacionada en detalle, ya sea fuera de línea o por correo electrónico con cualquier persona interesada! Mientras se terminan las versiones escritas.. Saludos, Marie Bjerrum.

Answer 2

Algunas condiciones necesarias y suficientes muy implicadas se encuentran en un papel de Foltz (en francés). Algunas observaciones sobre su documento:

1. Una observación elemental (Proposición 3, sección 1, p. F 12): $I$ -colimita los desplazamientos en $\mathrm{Set}$ con $P$ -si $I$ -conmutan con los límites discretos $\pi_0(P)$ -y también con $P'$ -límites para cada componente conectado $P'$ de $P$ . A continuación, Foltz analiza por separado los casos de $P$ discreto y de $P$ conectado.

2. Analiza por separado las condiciones de que el mapa de comparación canónico sea siempre inyectivo y de que sea siempre suprayectivo.

3. Al final trata algunos ejemplos de interés, entre ellos los colímetros que conmutan en $\mathrm{Set}$ con los retrocesos y los que conmutan en $\mathrm{Set}$ con ecualizadores. Pero no parece que hable de cómo recuperar las caracterizaciones de los límites filtrados o tamizados.

4. Los criterios de Foltz se expresan en términos de ciertas categorías de subdivisión, y un montón de zig-zags. Desgraciadamente, no discute cómo relacionar sus criterios con otros más conocidos, como la finalidad de ciertos funtores diagonales. Pero podría ser posible convertir sus criterios en tales formas.

Se saben algunas cosas sobre el fenómeno general de los límites que conmutan con los colímites:

• En "The Closure of a Class of Colimits" de Albert y Kelly se discute qué pesos límite conmutan en $\mathrm{Set}$ con todos los pesos de colímite con los que conmuta una clase dada, que es una especie de "cuadrado" de la relación de conmutación que te interesa. Esto es lo que Albert y Kelly llaman la "clausura" de una clase de colimits, y hoy en día se denomina típicamente la saturación .
• También hay algunos buenos notas de Kelly y Schmitt que discuten los aspectos formales de la situación, lo cual es suficiente para obtener una visión significativa del importante caso de absoluto colimits -- los que conmutan con cada límite.

Estos dos documentos están escritos en el contexto de las categorías enriquecidas, lo que significa que no aportan específico información sobre el caso de $\mathrm{Set}$ -enriquecimiento, pero al menos aclarar la situación formal.

Más concretamente, como señala Mike Shulman, es posible que desee echar un vistazo a la

• Documento ABLR, disponible en el sitio web de Steve Lack . Utilizan una condición sobre una clase de pesos límite $\mathbb{D}$ que llaman "solidez". De hecho, la solidez es explícitamente una suposición simplificadora sobre qué colímites conmutan con $\mathbb{D}$ -límites en $\mathrm{Set}$ . Todos los ejemplos que son bien conocidos (como el finito/filtrado y el finito-discreto/tamizado) satisfacen la solidez; esto parece explicar por qué es tan agradable trabajar con ellos.

• Se han realizado algunos trabajos más sobre el desarrollo de la teoría de estas "doctrinas sólidas", especialmente por parte de Claudia Centazzo; "On the notion of Lawvere Theory" de Lack y Rosicky también comienza a considerar cómo podría ser el caso enriquecido.

Pero parece que se sabe muy poco sobre qué "doctrinas" (clases de pesos límite) son sólidas en general. De hecho, los únicos ejemplos dados por ABLR de doctrinas no sólidas son la doctrina de los pullbacks, y la doctrina de los pullbacks + objetos terminales -- ¡ninguna de las cuales está saturada! La saturación de esta última es, por supuesto, todos los límites finitos, que es sonido. La saturación cónica de pullbacks es la clase de categorías simplemente conectadas y finitamente presentables, descubierto por Paré que es no Esto puede verse adaptando el argumento de ABLR sobre los retrocesos (ejemplo 2.3.vii).

Referencias enlazadas:

• François Foltz, Sobre el cambio de fronteras , Diagramas 1981
• Kelly y Schmitt, Notas sobre las categorías enriquecidas con colímites de alguna clase Teoría y aplicaciones de las categorías 2005
• Adámek, Borceux, Lack, Rosický, Una clasificación de categorías accesibles Journal of Pure and Applied Algebra, 2002.
• Paré, Límites simplemente conectados Revista Canadiense de Matemáticas, 1990